РАЗВИТИЕ ЛАВРЕНТЬЕВСКОЙ ИДЕИ

В апреле этого года кандидат физико-математических наук Дмитрий КУЗНЕЦОВ стал научным сотрудником лаборатории дифференциальных уравнений Института гидродинамики имени М.А.Лаврентьева СО РАН (до этого он занимал должность инженера). Повышение по службе вполне естественное для математика, получившего два диплома с отличием (бакалавра и магистра) Новосибирского государственного университета, защитившего диссертацию. Кроме того, работая ассистентом кафедры прикладной математики и теоретической механики НГУ, он ведет семинары по математическому анализу и теоретической механике. Словом, работает активно и целеустремленно, участвует в исследовательских программах по грантам РФФИ и "Ведущие научные школы". И ему вполне заслуженно присуждена премия имени академика М.А.Лаврентьева за работу "Бегущие поверхностные волны над подводным хребтом". Постановка задачи в такой редакции принадлежит доктору физико-математических наук, профессору Виктору Ивановичу Налимову. Ведь он сам занимается подобными теоретическими проблемами. Более того — не одно поколение математиков и механиков связано с решением интересной задачи, предложенной еще сорок пять лет тому назад М.А.Лаврентьевым. Это математическое событие совпадает с юбилеем Сибирского отделения РАН, основателем которого был академик М.А.Лаврентьев.

Д.Кузнецов (стоит), А.Мамонтов

По просьбе "НВС" Дмитрий Кузнецов рассказывает об истории Лаврентьевской гипотезы, развитии этой идеи, результатах решения задач предшественниками, а теперь и коллегами, и, абстрагируясь от собственной персоны, встраивает в контекст исследований свою работу...

— Изучение волновых процессов в сплошных средах ведется на протяжении многих десятилетий. Эта тематика не теряет актуальности благодаря разнообразию форм движения и практической ценности результатов исследований. Сложность управляющих этими движениями законов заставляет строить точные решения специального вида, либо прибегать к различным приближениям точной теории.

Физические явления в неоднородных средах иногда сопровождаются эффектом волновода (возмущения распространяются вдоль избранного направления). С математической точки зрения этому соответствуют решения специального вида, в то время как сам процесс описывается стандартными уравнениями той или иной среды. К середине 50-х годов XX века было известно о существовании акустических волноводов. Примерно тогда же американские ученые Мунк и Арсэр показали возможность существования волновода для линейных поверхностных волн в жидкости. Тем не менее их результат содержал большие погрешности даже в качественной картине течения. Причина тому — использование слишком "грубых" уравнений. Это была даже не линеаризованная модель динамики жидкости, а уравнения, выведенные на основе принципов геометрической оптики в акустическом приближении.

Наблюдения же за волнами цунами и другими большими волнами на мелководье показывали, что в местах выхода к побережью подводных архипелагов сила волн особенно велика. В 1957 году академик М.А.Лаврентьев высказал гипотезу о том, что уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости допускают решения, периодические по одной горизонтальной переменной и быстро убывающие в поперечном горизонтальном направлении, если дно бассейна имеет неровность цилиндрического характера (подводный хребет). Таким образом, можно считать, что гидродинамическая постановка задачи о поверхностных волнах над подводным хребтом имеет почти полувековую историю и принадлежит основателю Института гидродинамики М.А.Лаврентьеву.

С тех пор задачей о волноведущих свойствах подводного хребта занимались крупные математики и механики. При исследовании использовались, как правило, линеаризованные на нулевом решении уравнения идеальной жидкости. Из известных результатов следует отметить такие: асимптотика амплитуды волны в линейной нестационарной задаче при больших временах (Р.Гарипов, 1965), распространение уединенной волны над подводным хребтом (Е.Биченков, Р.Гарипов, 1969), распространение бегущих вдоль подводного хребта линейных волн (В.Налимов, П.Плотников, 1975).

Дмитрий пояснил, что его работа, представленная на конкурс, преимущественно теоретическая и состоит из шести статей. В ней в точной нелинейной постановке исследована задача о трехмерных поверхностных волнах над подводным хребтом — неровностью дна цилиндрической формы. В литературе известны единичные результаты по трехмерным волнам в жидкости. Решение искалось в специальных классах функций, периодических по переменной, направленной вдоль хребта, и экспоненциально убывающих в поперечном горизонтальном к хребту направлении. Идея решения заключалась в последовательной редукции исходной трехмерной задачи к одномерной (по пространственным переменным) и применении метода возмущений к получающемуся операторному уравнению.

— Первый этап решения задачи, несмотря на подготовительный характер, вскрыл нелинейные особенности уравнений: роль капиллярности оказалась существенной. При отказе от нее основные линейные операторы теряли свойство ограниченности.

Спецификой линейной спектральной задачи явилось то, что собственная функция исчезает при стремлении характерной неровности дна к нулю. В силу этого традиционные подходы, обычно используемые в теории ветвления, оказались неприменимыми. Приближенное решение удалось построить при помощи конечномерной аппроксимации линейного псевдодифференциального оператора. Построение точного решения линейного уравнения осуществлялось далее методом возмущений. Тем самым был усилен известный результат В.Налимова и П.Плотникова (о степенном характере затухания амплитуды волны): было доказано, что амплитуда экспоненциально убывает в поперечном к хребту направлении. При этом требование к функции, задающей профиль дна, имеет механический смысл: суммарная площадь возвышений (относительно ровного горизонтального дна на бесконечности) должна быть больше суммарной площади впадин. Помимо этого была установлена так называемая фредгольмовость основного линейного оператора, что дало возможность применить схему ветвления Ляпунова--Шмидта в нелинейной задаче. Основные математические трудности работы заключались в оценках в специальных банаховых пространствах операторов, содержащих малый параметр при старшей производной.

Аналитический аппарат позволил оценить максимальное возвышение волны, вычислить показатель экспоненциального убывания как функцию от профиля хреба, капиллярного числа и частоты волны. В двух предельных случаях — уединенная волна (частота нулевая) и рябь (частота стремится к бесконечности) показатель экспоненциального убывания равен нулю. Эти оценки имеют практическое значение, так как позволяют увидеть качественную картину распространения возмущений.

Центральный результат работы — это теорема существования нелинейных поверхностных гравитационно-капиллярных волн над неровным дном, имеющим цилиндрическую вытянутость в одном из горизонтальных направлений.

Актуальность проведенных исследований была подтверждена интересом, проявленным к задаче и полученным результатам на ряде всероссийских и международных конференций по математике и механике, в числе которых "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (САМГОП-2000, Пермь) и VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001).

Решением этой большой задачи завершается очередной этап в исследовании проблемы волновода в жидкости.