И СНОВА ПРОБЛЕМА НАВЬЕ-СТОКСА

Премию в области математической физики имени академика И.Н.Векуа — первого ректора Новосибирского государственного университета — получил кандидат физико-математических наук Александр МАМОНТОВ за работу "Разрешимость в целом" неодномерных уравнений вязкой сжимаемой жидкости".

Обычно "прирожденные" математики заявляют о себе еще в студенческие годы. Дипломная работа магистра мехмата НГУ Александра Мамонтова послужила основой для кандидатской диссертации, которую он защитил буквально через полгода после окончания университета.

"Математика — это наследственное, — сказал Александр. — Дед — инженер, отец — математик..." В целом утверждение спорное — не всегда так получается, просто иногда выручает "удачное стечение обстоятельств".

По стечению обстоятельств отец и сын работают в Институте гидродинамики имени М.А.Лаврентьева СО РАН, но в разных лабораториях. Сын — в лаборатории краевых задач механики сплошных сред, руководит которой член-корреспондент В.Монахов.

Когда А.Мамонтов назвал своего научного руководителя — профессора А.Кажихова — сразу стало ясно, с какой проблемой снова и снова сталкиваются математики. И цикл конкурсных математических работ логично развивает "студенческие" задачи Александра. На вопрос, как бы он без формул прокомментировал свои результаты, он ответил, что в этом цикле статей рассматривается с разных сторон один из вариантов классической проблемы и пояснил:

— Моя работа относится к проблеме математической физики, сформулированной еще в XIX веке. Это вопрос о математической корректности модели движения вязких жидкостей, описываемой уравнениями Навье-Стокса. Подобно тому, как в ходе упорных попыток доказательства известной теоремы Ферма математиками были созданы целые теоретические направления, живущие сейчас своей самостоятельной жизнью, так и проблема уравнений Навье-Стокса вызывает большой интерес специалистов, потому что она находится на стыке разных направлений. Эта проблема — источник и своего рода пробный камень для многих новых методов математической физики, дифференциальных уравнений и функционального анализа. В этой области работали и работают в настоящее время такие выдающиеся математики, как Ж.Лерэ, О.Ладыженская, Ж.-Л.Лионс и многие другие, включая сына Ж.-Л.Лионса — Пьера-Луи, который за свои достижения был недавно удостоен престижной Филдсовской премии. В отличие от упомянутой теоремы Ферма, здесь идет речь не об одной теореме, а о целом круге вопросов. Многие, основные из них, до сих пор не выяснены. Дело в том, что для приложений особенно важно уметь решать теоретически и численно уравнения, описывающие многомерные движения вязких (желательно, сжимаемых, что сложнее) жидкостей, в том числе с нелинейной вязкостью. Однако всякий разговор о поиске, изучении решения или его "обсчитывании" на компьютере начинается с теорем о существовании, единственности и качественных свойствах. С точки зрения физики особую ценность представляют теоремы "в целом" по времени, то есть характеризующие решение задачи на достаточно больших промежутках времени и без ограничений на входные данные, а вот эти-то теоремы "достаются" исследователям в последнюю очередь. Не исключение и уравнения вязкой сжимаемой жидкости. В классической постановке проблема Навье-Стокса (точная формулировка и доказательство теоремы о корректности "в целом" по времени для трехмерных движений) не решена до сих пор, даже для несжимаемой жидкости. В представленной работе получены новые результаты из упомянутого нами широкого круга вопросов, возникших из первоначальной классической проблемы. Впервые удалось доказать разрешимость "в целом" по времени и входным данным уравнений трехмерного движения сжимаемой неньютоновской жидкости. До сих пор близкие по смыслу теоремы были получены только для несжимаемых жидкостей; в случае линейной вязкости имелись хорошие результаты для двумерного случая и начальные шаги для трехмерного. Однако такое сочетание — три измерения, сжимаемость и достаточно высокая гладкость — достигнуто впервые. Попутно получены новые результаты в развивающейся области функционального анализа — теории пространств Орлича — именно ее привлечение помогло достичь результатов в области математической физики.

Автор надеется на плодотворное продолжение своей работы в той интересной области математики, в которой ему довелось оказаться, а также на то, что в решении проблемы Навье-Стокса — а оно придет рано или поздно, как это случилось с теоремой Ферма — будет и его скромный вклад.

Подготовила Г.Шпак.