НЕКОРРЕКТНЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ

В первую декаду августа в Академгородке проходила международная конференция "Некорректные и обратные задачи", посвященная 70-летию академика М.М.Лаврентьева.

В.Романов
член-корреспондент РАН

Конференция организована Институтом математики им. С.Л.Соболева СО РАН совместно с Президиумом Сибирского отделения РАН, Институтом вычислительной математики и математической геофизики, Новосибирским и Красноярским государственными университетами. В ней приняли участие около 180 ученых, в том числе 95 — из России, 70 — из СНГ, 11 — из стран дальнего зарубежья: Японии, Турции, Австрии, Италии, Франции, США, Бразилии. На конференции было сделано 15 пленарных, около 120 секционных и 50 стендовых докладов.

Академик М.Лаврентьев с фамильным гербом, врученным на конференции.

Специальное расширенное заседание конференции, прошедшее 5 августа в большом зале Дома ученых СО РАН, было посвящено юбилею академика М.М.Лаврентьева. Оно началось научным докладом юбиляра: "Отображения Даламбера и обратные задачи". М.М.Лаврентьев рассказал о своих научных работах в области томографии. Затем его поздравили сотрудники институтов Сибирского отделения РАН, представители областной, городской и районной администраций, зам. председателя Областного Совета г.Новосибирска, гости из различных регионов России и стран СНГ и многочисленные ученики. Все выступающие говорили о больших заслугах юбиляра в развитии науки и подготовке научных кадров.

В адрес юбиляра поступило много теплых приветствий, в том числе от Президента России В.Путина и президента РАН академика Ю.Осипова.

Работа конференции проходила по 5 секциям: обратные задачи математической физики, методы регуляризации в обратных и некорректных задачах, проблемы томографии, приложения некорректных и обратных задач, дифференциальные уравнения.

Участники юбилейной конференции.

Основная цель конференции — ознакомление с новыми научными результатами и обмен научными идеями в области обратных и некорректно поставленных задач. Это именно та область математики, к созданию и развитию которой приложил большие усилия М.М.Лаврентьев. К настоящему моменту во всем мире хорошо осознано, какую большую роль играет теория обратных задач в естественных науках и их приложениях. Трудами крупнейших физиков, механиков и математиков XVIII--XX веков создана стройная теория дифференциальных уравнений, позволяющая качественно и количественно описывать основные физические закономерности окружающего нас мира. Фактически само построение дифференциального уравнения, адекватно описывающего то или иное физическое явление, представляет собой решение некоторой задачи, которую естественно назвать "обратной". Исследователь наблюдает явление и пытается построить такое уравнение, решения которого обладают наблюдаемыми свойствами. Обычно в основе получаемых дифференциальных уравнений лежат физические законы, которые позволяют сформулировать общий вид дифференциальных соотношений. Как правило, в них присутствует некоторое число произвольных функций (в случае линейных уравнений — это коэффициенты уравнений), определяющие свойства физической среды. Если свойства среды известны, то дифференциальное уравнение в сочетании с краевыми и начальными условиями позволяет предсказать развитие физического явления в пространственно-временной области. Это классическая задача для уравнений математической физики. В теории обратных задач подобные задачи называются "прямыми". В современном естествознании очень часто возникают следующие обратные задачи: известен общий вид дифференциального уравнения, но характеристические свойства среды неизвестны, их требуется определить по наблюдаемым решениям дифференциального уравнения. Типичная ситуация, когда непосредственные измерения внутри некоторой области невозможны по тем или иным причинам (например, нельзя непосредственно наблюдать вещество земных недр или планет на больших глубинах), однако можно наблюдать и количественно измерять физические поля (решения дифференциальных уравнений) на границе или вне этой области. В математическом отношении такие задачи часто не удовлетворяют классическим требованиям единственности, устойчивости или существования решения и потому называются "некорректно поставленными".

Численные методы их решения требуют особого подхода, так как решения некорректно поставленных задач обычно обладают плохой устойчивостью по отношению к данным, небольшие ошибки в измерениях могут привести к большим уклонениям в решении. Поэтому требуется строить такие алгоритмы решения задачи (регуляризирующие алгоритмы), которые позволяли бы строить устойчивые приближения к искомому решению по мере улучшения точности измерений. Общие принципы их построения были развиты в научных школах М.М.Лаврентьева, А.Тихонова и В.Иванова.

На конференции много интересных докладов было сделано по исследованию новых постановок обратных задач и методов их устойчивого решения. На секции "Обратные задачи" были заслушаны доклады, посвященные вопросам единственности и существования решений многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. В докладах, в частности, нашли отражение связи интегральной геометрии и оценок Карлемана с проблемами единственности и устойчивости решений ряда обратных задач. Представляются интересными и перспективными связи разрешимости обратных задач и разрешимости начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений. Следует отметить прикладную направленность части докладов, связанных с проблемами теории упругости, переноса, электроразведки и другими приложениями.

На секции "Методы регуляризации в обратных и некорректных задачах" рассматривались методы регуляризации для конкретных задач, имеющих практическое приложение, и для абстрактных операторных уравнений. Участников интересовали вопросы использования априорной информации для построения регуляризующего алгоритма и выбора параметра регуляризации.

Доклады на секции "Проблемы томографии" касались различных аспектов теории решения интегральных уравнений, возникающих в томографии, а также вычислительным аспектам разработки алгоритмов томографии. Рассматривались задачи векторной и тензорной томографии, задачи восстановления излучателей при известном распределении поглотителей. Ряд работ был посвящен алгоритмам реконструкции изображения по его проекциям. По томографии были сделаны два пленарных доклада. Доклад В.Пикалова содержал обзор разнообразных практических постановок задач физической томографии, использующих большое многообразие типов излучения, электромагнитное (от рентгеновского до ультрафиолета и видимого диапазона), заряженные частицы (пучки электронов и протонов). В докладе Д.Аниконова рассматривалась задача томографии в постановке, когда необходимо учитывать рассеяние проникающего излучения в самой исследуемой среде. Введено понятие невидимых и плоховидимых неоднородностей в объекте. Указаны реальные прототипы плоховидимых сред.

На секции "Приложения обратных и некорректных задач" наибольшее количество докладов было связано с геофизическими постановками — определение параметров среды по данным дистанционных наблюдений (сейсмических, электромагнитных, гравитационных). Ряд докладов был посвящен решению обратных задач и задач идентификации параметров в проблемах защиты окружающей среды. Вообще надо отметить, что наибольший интерес вызывали именно те доклады, в которых рассматривались реальные задачи, возникающие в практической деятельности. Большинство из них характеризовались глубоким пониманием постановки задач, источников ее некорректности и грамотным выбором способов ее регуляризации.