СЕРГЕЙ СОБОЛЕВ И ЛОРАН ШВАРЦ

Как уже сообщала «НВС», 14 октября 2003 г. Институт математики провел научную сессию, посвященную 95-летию основателя и первого директора института академика Сергея Львовича Соболева. Были заслушаны доклады ведущих ученых-математиков. Предлагаем нашим читателям фрагмент доклада профессора Семена Кутателадзе.

В истории математики немало людей, которых мы вспоминаем парами. Среди них Евклид и Диофант, И. Ньютон и Г.В. Лейбниц, Я. Больяи и Н. И. Лобачевский, Д. Гильберт и А. Пуанкаре, Н. Бурбаки и В. И. Арнольд. В этом ряду стоят С. Соболев (1908-1989) и Л. Шварц (1915-2002), имена которых неразрывно связаны с одним из самых ярких математических достижений 20 века — теорией распределений или обобщенных функций, предложившей принципиально новый подход к исследованию уравнений в частных производных.

Наиболее законченные и востребованные математические достижения воплощены в формулах и перечнях, списках объектов. Между списками и формулами есть принципиальные отличия. Перечни фиксируют то, что нам открыто. Списки платоновых тел, элементарных катастроф, простых конечных групп сродни «Альмагесту» и гербариям. Они составляют объекты восхищения, совершенные и застывшие. Предмет математического ремесла — формулы. Формула возникает как материализация математического творчества, она живет своей особой жизнью и имеет самостоятельную судьбу. Формулу редко используют только по ее прямому назначению. Отчасти формула похожа на домашний прибор, игрушку или программное обеспечение. Редко, кто читает инструкцию по применению нового телевизора или описание правил пользования новой программы — гораздо чаще эти обновки осваивают экспериментально, нажимая подходящие клавиши и кнопки. Также принято подходить и к формулам. Их «крутят», подставляют в них новые параметры, по-своему трактуют входящие в них символы и т.п.

Математика — ремесло формул, искусство исчисления. Тем, кому эта констатация кажется слабой и неполной, можно напомнить, что в логическом плане теория множеств представляет из себя некоторую разновидность узкого исчисления предикатов. Теория распределений стала новым дифференциальным исчислением нашего времени. Таков масштаб научного открытия, связанного с именами С. Соболева и Л. Шварца.

В основе теории распределений лежит стремление применить технологии функционального анализа для исследования дифференциальных уравнений в частных производных. Функциональный анализ характеризуется алгебраизацией, геометризацией и социализацией аналитических задач. Под социализацией обычно понимают включение конкретной задачи в целый класс аналогичных проблем. Социализация позволяет стереть «случайные черты» — избавиться от трудностей, привносимых чрезмерной спецификой задачи. К началу 1930-х годов достоинства функционального анализа уже были продемонстрированы в сфере интегральных уравнений. На повестке дня стояли уравнения дифференциальные.

Следует подчеркнуть, что размышления над природой интегрирования и дифференцирования лежат в основе большинства теорий современного функционального анализа. Это неудивительно ввиду особой роли этих замечательных линейных операций. Общеизвестно, что интегрирование обладает более привлекательными свойствами по сравнению с дифференцированием: эта операция монотонна и повышает гладкость. Указанные приятные свойства начисто отсутствуют у оператора дифференцирования. Ряды гладких функций, вообще говоря, нельзя дифференцировать почленно, что существенно затрудняет применение аналитических средств для решения дифференциальных уравнений.

В настоящее время мало кто усомнится в том, что центральным в теории распределений является понятие обобщенной производной. Производная рассматривается теперь как оператор, действующий на негладкие функции по тем же интегральным законам, которым подчиняется процедура взятия классической производной. Именно такой подход был впервые явно сформулирован С. Л. Соболевым в 1935 г., что обессмертило его имя как пионера нового исчисления. В 1945 г. Л. Шварц независимо пришел к тем же идеям и перенес на распределения классическую теорию преобразования Фурье. Монографические изложения достижений новой теории появились в свет практически одновременно. В 1950 г. в Париже вышел первый том «Теории распределений» Л. Шварца, а в Ленинграде — книга С. Л. Соболева «Некоторые применения функционального анализа в математической физике».

Предложенные теорией распределений новые методы оказались столь сильными, что позволили выписать в некотором явном виде общее решение произвольного дифференциального уравнения в частных производных в случае, когда коэффициенты при производных постоянны. Существование таких решений было установлено уже в 1953-54 гг. независимо в работах Б. Мальгранжа и Л. Эренпрайса. Трудно переоценить это замечательное достижение, ставшее одним из триумфов абстрактной теории топологических векторных пространств.

Путь от обобщенных решений к классическим лежит через пространства Соболева. Исследование вложений и следов пространств Соболева и их обобщений стало одним из основных направлений современной теории функций вещественной переменной. Десятки книг упоминают в своем названии пространства Соболева, что бывает не так уж часто в нашей науке.

Размышляя о судьбах С. Соболева и Л. Шварца, невозможно обойти вопрос о причинах поляризации оценок, касающихся математического открытия, связанного с их именами. Наивно полагать, что этот вопрос когда-либо получит простой и полный ответ, убедительный для всех и каждого. Достаточно обратиться к имеющемуся опыту, касающемуся других знаменитых пар математиков, споры о судьбе и творчестве которых продолжаются иногда столетиями, вызывая резкие столкновения мнений по сей день. Думается, что истоки этого явления довольно универсальны и заключены не только в особенностях личностей этих людей, но и, не в последнюю очередь, в природе самого математического творчества.

Прибегая к несколько рискованной аналогии с искусством, можно отметить, что математике как науке присущи черты, ассоциирующиеся с теми направлениями в искусстве, которые принято называть классицизмом и романтизмом. Трудно не увидеть классические черты эллинской традиции в сочинениях Евклида, И. Ньютона, Я. Больяи, Д. Гильберта и Н. Бурбаки. Невозможно не отозваться на аккорды романтического гимна человеческому гению, звучащие со страниц сочинений Диофанта, Г. В. Лейбница, Н. И. Лобачевского, А. Пуанкаре и В.И. Арнольда.

Лучшие черты математического классицизма и романтизма нашли воплощение в творчестве С. Соболева и Л. Шварца. Эти люди и их достижения навсегда останутся с нами…

С.Кутателадзе, профессор.

стр. 7