МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ
ЖИДКОСТИ И ГАЗА

Научная школа академика Л.В. Овсянникова.

Начало научной школы академика Л. Овсянникова относится к концу 50-х годов XX века, когда Лев Васильевич, будучи преподавателем Московского физтеха, ставил задачу исследования групповых свойств уравнений Навье-Стокса и Эйлера своим дипломникам Ю. Павловскому и В.Пухначеву. Сегодня они — члены-корреспонденты РАН, сами руководители научных школ. Среди учеников Л. Овсянникова еще два члена-корреспондента РАН — С. Похожаев и В. Тешуков, а также более 20 докторов и кандидатов наук.

За прошедшие с той поры годы создана научная школа, занимающая ведущие позиции в исследовании математических вопросов механики континуума. Групповой анализ дифференциальных уравнений, нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн — в этих разделах науки представителями школы получены рекордные результаты, определяющие уровень развития этих областей знания. Воспитанники школы работают в России (Новосибирск, Москва, Красноярск, Уфа), Франции, Швеции. Ядро школы — лаборатория дифференциальных уравнений Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, основанная и возглавляемая долгое время академиком Л. Овсянниковым. Сейчас лабораторией заведует его ученик чл.-корр. РАН В. Тешуков. А в лабораторию уже приходит поколение научных правнуков основателя школы.

Деятельность школы академика Л. Овсянникова постоянно отмечается Советом по грантам Президента России государственной поддержки ведущих научных школ, грантами РФФИ, ИНТАС, молодежными грантами Сибирского отделения РАН.

За последние годы школа пополнилась двумя докторами наук — Н. Макаренко и А.Чупахиным и четырьмя кандидатами. Научные результаты членов школы отмечены многими наградами. Укажем полученные недавно.

Премия имени М. А. Лаврентьева за выдающиеся достижения в области математики, механики и прикладной физики (учреждена Фондом им. М. А. Лаврентьева) — академик Л. Овсянников. Аналогичная премия в номинации для молодых ученых — д.ф.-м.н. А. Чупахин.

Премия им. М. А. Лаврентьева (учреждена Президиумом РАН) — член-корр. РАН В. Тешуков. Премия им. М. А. Лаврентьева для молодых ученых (учреждена Президиумом СО РАН) — к.ф.-м.н. Д. Кузнецов.

Премия им. И. Н. Векуа для молодых ученых (учреждена Президиумом СО РАН) — к.ф.-м.н. Б. Старовойтова.

Опишем подробнее научную тематику школы.

Групповой анализ дифференциальных уравнений

Свойство симметрии играет важную роль в математической физике и механике сплошной среды. Инвариантность математической модели механики относительно группы Галилея является неотъемлемым атрибутом этой модели — следствием ее формулировки в рамках механики Ньютона — Галилея. Адекватным математическим оформлением концепции симметрии является групповой анализ дифференциальных уравнений — раздел математики, лежащий на стыке алгебры и математического анализа, изучающий алгебраическую структуру на множестве решений дифференциальных уравнений. Систематическое исследование этого предмета было начато норвежским математиком Софусом Ли (1842-1899). По его имени эту дисциплину иногда называют симметрийным анализом Ли. Существенное развитие теория получила во второй половине XX века в работах Л. Овсянникова, который показал разнообразные и плодотворные применения группового анализа в механике жидкости и газа.

Сегодня групповой анализ дифференциальных уравнений является наиболее мощным и универсальным методом отыскания широких классов точных решений дифференциальных уравнений произвольного вида. Особенно эффективны его приложения в механике и математической физике, поскольку математические модели в этих науках по своему построению инвариантны относительно некоторой группы симметрии. Важной особенностью группового анализа является его универсальность — он применим для дифференциальных уравнений общего вида независимо от их типа, нелинейности или числа переменных. Плодотворность приложений группового анализа в различных разделах естествознания иллюстрируется проведенным симметрийным анализом моделей газовой динамики — идеальной и вязкой, различных моделей гидродинамики, моделей диффузии, механики деформируемого твердого тела и многих других, осуществленным рядом исследователей в последние 30 лет. Исследования в области теории и приложений группового анализа дифференциальных уравнений ведутся в настоящее время в Новосибирске, Москве, Красноярске, Уфе и других научных центрах России, в США, Великобритании, Австралии, на Украине и т.д. Регулярно проводятся международные конференции, в организации одной из которых — «Современный групповой анализ: теория и приложения» (Modern Group Analysis) представители школы играют ведущую роль. Международное распространение группового анализа иллюстрируется географией проведения конференций: Россия (1991, 2002), Италия (1992), Южная Африка (1994, 1996), Норвегия (1997). Профессор Н. Ибрагимов, воспитанник школы, а ныне директор Международного института симметрийного анализа (Карлскруне, Швеция) является председателем научного оргкомитета, а академик Л. Овсянников — постоянным его членом.

В начале 90-х годов XX века Л. Овсянников выдвинул концепцию научно-исследовательской программы ПОДМОДЕЛИ, суть которой состоит в максимально полном использовании свойств симметрии, заложенных в математической модели, для построения атласов, банков данных точных решений, имеющих симметрийное происхождение. Деятельность научного коллектива, руководимого Л. Овсянниковым по симметрийному анализу модели идеальной газовой динамики показала новаторство этого подхода и принесла большое число новых решений, имеющих нетривиальную физическую трактовку. И это в области науки, где поиску точных решений всегда уделялось огромное внимание, поскольку они были основой решения многочисленных газодинамических задач (Л.Седов, Л. Ландау, К. Станюкович и др.), имеющих большое практическое значение.

Уравнения газовой динамики в зависимости от вида уравнения состояния газа допускают различные расширения алгебры Галилея — фундаментальной группы механики континуума. Примечательно, что в одном из случаев алгебра симметрии расширяется проективным оператором, обнаруженным впервые Л. Овсянниковым в 1958 году, и это преобразование никак не угадывается из «физических» соображений. Оптимальные системы подалгебр указанных алгебр симметрии порождают огромные (тысячи!) массивы возможных не подобных точных решений. На этих массивах вводится иерархия подмоделей — классификация решений по различным структурным признакам.

Значительным достижением работы по программе ПОДМОДЕЛИ над моделью газовой динамики является открытие большого числа новых решений уравнений газовой динамики, обладающих, зачастую, необычными свойствами.

Неожиданным для специалистов в теории гиперболических уравнений и газовой динамики было открытие Л. Овсянниковым периодических по времени решений уравнений газовой динамики. Им была создана общая теория периодических движений газа и найдены яркие и достаточно простые примеры, иллюстрирующие ее. Решение названное «газовым маятником» подобно своему математическому аналогу. Оно описывает пульсирующее движение круглого пятна газа, радиус которого периодически меняется со временем. Скорость частиц газа имеет как вращательную, так и радиальную компоненты. Для более сложного движения газа, названного «газовой шестерней», граница пятна имеет вид вращающегося зубчатого колеса с гладкими зубцами (отсюда и название), а каждая частица газа внутри него вращается вокруг центра и пульсирует вдоль радиуса.

Открыты и исследованы барохронные решения, в которых давление зависит только от времени. Соответствующие движения газа, обладают любопытными физическими свойствами. Они моделируют сверхсильное безударное сжатие газа: его ограниченный объем под действием поршня, движущегося по заданному закону, коллапсирует на многообразие коллапса, размерность которого меньше размерности задачи. Так объем газа может быть сконцентрирован на части заданной поверхности, кривой или в точке. Обнаружен эффект акустического (звукового) коллапса. Характеристический коноид в зависимости от значения показателя адиабаты либо схлопывается по многообразию коллапса, либо асимптотически приближается к гиперплоскости, отвечающей моменту коллапса, уплощаясь и распластываясь по ней. Такая геометрия характеристического коноида для гиперболических уравнений не была известна ранее.

Ярким результатом явилось также открытие «особого вихря», обобщающего классические сферически симметричные решения. Дано аналитическое описание решения и изучены его инвариантные подмодели — решения, обладающие дополнительной симметрией. Описаны движения газа из стационарного вихревого источника. В нем газ истекает в окружающее пространство с поверхности сферы конечного радиуса. Если величина радиальной компоненты скорости больше скорости звука, то движение близко к радиальному. В противном случае, происходит вырождение пространственного движения в плоский вращающийся газовый диск, и этот режим движения принципиально отличен от радиального.

Книга Л. Овсянникова «Групповые свойства дифференциальных уравнений» (1962 г.) была первой монографией по групповому анализу, которая служила и учебником по этому предмету. В 1978 году вышла в свет монография Л. Овсянникова «Групповой анализ дифференциальных уравнений», в которой были подведены итоги теоретического развития этого предмета и обрисованы его приложения в различных разделах математической физики. Эта книга в 1982 г. была переведена на английский язык и издана в США. Н. Ибрагимов в своей книге «Группы преобразований в математической физике» (1983) изложил применения теоретико-групповых методов для отыскания точных решений уравнений Эйнштейна, симметрийную основу законов сохранения для вариационных задач, групповые аспекты принципа Гюйгенса для гиперболических уравнений второго порядка, основы теории формальных групп Ли-Беклунда и классификацию нелинейных эволюционных уравнений. Расширенный вариант этой монографии был издан в 1985 г. В 1987 году Л. Овсянников и Н. Ибрагимов были удостоены Государственной премии СССР за достижения в области группового анализа дифференциальных уравнений. Следует упомянуть и о создании профессором Н. Ибрагимовым Международных центров симметрийного анализа в Университете Витсвотерсрэнда (Йоханнесбург, ЮАР) и в Университете Карлскруна (Швеция). Сейчас в них активно ведутся исследования в области группового анализа дифференциальных уравнений.

Математическая теория нелинейных волновых процессов
в неоднородных средах

Основы теории волн были заложены классиками теоретической гидродинамики — Эйлером, Лагранжем, Коши и другими выдающимися исследователями. Во все времена волновые явления были и остаются необыкновенно привлекательными для исследователей, благодаря богатству и разнообразию видимых форм движения наряду с труднодоступностью управляющих ими законов и актуальностью практических рекомендаций.

Основу теории волн образуют методы математического моделирования и результаты качественного анализа моделей. Для теории волн характерно использование широкого арсенала средств математического анализа. Задачи о волнах служат хорошим стимулом для создания новых математических методов и конструкций. Это относится, главным образом, к теории волн в точной постановке. Под этим понимаются такие утверждения о волновых движениях жидкости, которые справедливы при точном выполнении законов сохранения, в рамках точных уравнений модели.

Точных результатов в теории волн имеется немного, и примечательно, что ряд из них получен представителями школы.

Внимание теоретиков в Институте гидродинамики к задачам со свободной границей было привлечено обсуждением вопроса о направленном бросании грунта под действием взрыва, поставленным в свое время академиком М. А. Лаврентьевым. При импульсных нагрузках и высоких скоростях, создаваемых взрывом, сплошная среда ведет себя подобно идеальной жидкости и первый вопрос, возникающий при изучении задачи о бросании грунта — корректность постановки этой задачи.

Интерес математиков к исследованию задач гидродинамики со свободными границами был инициирован и задачей волнообразования при сварке взрывом. В экспериментах по сварке металлических пластин, обнаруживается характерная волновая структура границы раздела. Этот феномен еще ждет своего объяснения, но многие другие трудные задачи теории волн получили свое решение в результате исследований последних 40 лет.

Разрешимость задач о нестационарных поверхностных волнах была установлена Л. Овсянниковым после разработки соответствующего математического аппарата — теории квазидифференциальных операторов, действующих в шкалах банаховых пространств. Существенным вкладом в абстрактный функциональный анализ было доказательство аналога теоремы Коши — Ковалевской о разрешимости соответствующей задачи Коши. В математической литературе это утверждение получило название теоремы Овсянникова. Созданная теория позволила доказать теоремы о существовании и единственности решения, а также дать обоснование приближенной теории мелкой воды, как для плоского, так и для трехмерного движения. Ряд результатов в этой области был получен учениками Л. Овсянникова — д.ф.-м.н. Н. Макаренко и д.ф.-м.н. В. Налимовым.

Существенным вкладом в исследование волновых движений явилась книга «Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн» (1985 г.), половина авторов которой составляли представители школы: Л. Овсянников, Н. Макаренко, В. Налимов, В. Ляпидевский. Цикл работа академика Л. Овсянникова «Нелинейная теория неустановившихся движений идеальной жидкости со свободной границей», в котором было сформировано новое направление исследования движений идеальной жидкости в точной нелинейной постановке, был удостоен Золотой медали им. М. А. Лаврентьева АН СССР с премией (1989 г.).

Выход коллективной монографии стимулировал дальнейшее развитие математической теории нелинейных волн сразу в нескольких смежных направлениях.

Так, в точной нелинейной постановке доказано существование внутренних стационарных волн нового типа — плавных боров в двухслойной и непрерывно стратифицированной жидкости. Трудности принципиального характера были преодолены при исследовании докритического истечения жидкости из-под щита с образованием стационарного цуга периодических волн вдали от места истечения. В рамках модели идеальной жидкости с учетом капиллярных сил на свободной границе решена задача М. А. Лаврентьева о волноводе поверхностных волн над подводным хребтом. Существенное продвижение также получено в теории катящихся уединенных волн, распространяющихся в слое вязкой жидкости на наклонной плоскости. Во всех этих исследованиях как опытными, так и молодыми участниками школы были развиты новые идеи и подходы к указанным нестандартным задачам теории ветвления, для которых характерно наличие непрерывного спектра линеаризованного оператора, сильное вырождение спектральной задачи в критическом значении бифуркационного параметра, а также нарушение геометрической симметрии в ответвляющемся точном решении, описывающем стационарную волновую конфигурацию.

Новое плодотворное применение созданного Л. Овсянниковым метода исследования нелокальных задач Коши в шкалах банаховых пространств было найдено в теории нелинейных нестационарных волн, генерируемых движущимся погруженным телом. Здесь удалось дать адекватную математическую формулировку для строгого обоснования широко используемого в корабельной гидродинамике приближения тела конечных размеров точечной особенностью поля скоростей.

Важные результаты получены представителями школы при исследовании математических моделей длинноволновых приближений в неоднородной жидкости.

При описании распространения нелинейных волн на поверхности неоднородной тяжелой жидкости часто используется теория длинных волн. Она ведет свое начало из задачи гидравлики открытых русел и применима в важном для приложений случае, когда характерные горизонтальные масштабы волнового движения намного превосходят глубину слоя жидкости. Большое значение при разработке математических методов анализа длинных волн имела аналогия между уравнениями мелкой воды и уравнениями газовой динамики. Это позволило применять понятие разрывного решения при описании таких явлений, как бор и гидравлический прыжок. Однако внутренняя неоднородность течения, связанная с генерацией завихренности появлением внутренних границ раздела, обрушением волн, требует введения ряда новых параметров, характеризующих волновой процесс. Исследование в этой области были суммированы в монографии В. Ляпидевского, В. Тешукова «Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости» (2000 г.).

Для адекватного описания нелинейных волновых явлений понадобилось создание нового математического аппарата. Поскольку модели течений неоднородной жидкости описываются, как правило, системами интегродифференциальных уравнений, то возникла необходимость переноса понятий гиперболичности на уравнения такого вида. Оказалось, что условия гиперболичности хорошо согласуются с известными критериями устойчивости сдвиговых течений, выведенных в рамках линейной теории волн. Принципиальное отличие новых гиперболических моделей от изучавшихся ранее состоит в наличии у них непрерывного спектра. Новый математический аппарат создал дополнительные возможности для более точного моделирования явлений.

* * *

Научная деятельность школы Л. Овсянникова неразрывно связана с мехматом Новосибирского государственного университета. На кафедре гидродинамики, которой в течение ряда лет заведовал академик Л. Овсянников, а теперь возглавляет его ученик, чл.-корр. РАН В. Тешуков, всегда приветствовалось включение в лекционные курсы свежих научных результатов.

Повышенное внимание к математическим аспектам механики жидкости и газа отличает и обязательный курс «Механика сплошной среды». Так газовая динамика излагается на базе учебника Л. Овсянникова «Лекции по основам газовой динамики» (1983 г.). В 2003 году вышло второе, переработанное издание этой книги. На кафедре читаются оригинальные курсы «Групповой анализ дифференциальных уравнений», «Волны в сплошных средах», в которых используются самые новые научные результаты. Существует отлаженная система подготовки молодых кадров, когда студент, выбрав специализацию и научного руководителя, работает, начиная с IV курса, в лаборатории дифференциальных уравнений, выполняя курсовую и дипломную работы. В рамках школы функционируют спецсеминары: «Групповой анализ дифференциальных уравнений» (руководитель — академик Л. Овсянников), «Механика неоднородных сред» (руководители — чл.-корр. РАН В. Тешуков и д.ф.-м.н. В. Ляпидевский), «Математические проблемы механики» (руководители — д.ф.-м.н. А. Чупахин, к.ф.-м.н. С. Головин, к.ф.-м.н. А. Чесноков). На семинарах заслушиваются оригинальные научные результаты, реферируются статьи из научных журналов и книги. Все студенты, проходящие специализацию не просто посещают выбранный семинар, но и работают в нем, выступая с докладами. Дипломные работы зачастую представляют собой предмет публикации в солидных журналах. В традициях школы широкое представительство молодежи на научных форумах. Так, например, на VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике в 2001 году в Пермь выезжали всей школой — половина молодежь, половина их учителя. Творческая и рабочая атмосфера, продуктивная научная деятельность участников служит залогом того, что научная школа академика Л. Овсянникова будет успешно работать и впредь.

В день 85-летнего юбилея Льва Васильевича участники школы поздравляют своего учителя и желают ему здоровья, новых научных результатов и хорошего настроения.

стр. 5