РАЗРЫВЫ ОБРЕТАЮТ СТРУКТУРУ

Второй год подряд высшую в России оценку получают исследования ученых Института гидродинамики имени М. А. Лаврентьева. Государственной премией РФ в области науки и техники отмечены директор ИГиЛ СО РАН член-корреспондент РАН Владимир ТЕШУКОВ и главный научный сотрудник института доктор физико-математических наук Валерий ЛЯПИДЕВСКИЙ. Обширный цикл работ объединен темой «Нелинейные волны в сплошных средах, описываемые гиперболическими системами уравнений высокого порядка: разрывы и их структуры».

Юрий Плотников, «НВС»

Мы беседуем в институтском кабинете Михаила Алексеевича Лаврентьева. Избитое выражение о стенах, которые дышат историей, приобретает здесь материальный, осязаемый смысл. Внушительных размеров «круглый» стол, за которым Лаврентьев вел заседания Ученого совета, огромная доска, на которой писал мелом основатель Сибирского отделения, обширная экспозиция, отражающая основные этапы долгого и славного пути Института гидродинамики. Сегодня лаврентьевский кабинет, по сути дела, исполняет роль мемориального музея. Сама обстановка этого места располагает вспомнить об учителях и предшественниках.

Тематика, связанная с нелинейными волнами, была начата в институте М. Лаврентьевым и продолжена его учениками и последователями. Наши собеседники В. Тешуков и В.Ляпидевский — представители научной школы, созданной академиком Л. Овсянниковым. Они пришли в теоретический отдел студентами и в течение многих лет работали под руководством Л. Овсянникова. Многие их результаты докладывались на знаменитом семинаре теоретического отдела.

— У Института гидродинамики очень грозная репутация: взрывы, ударные волны — многое связано с оборонной тематикой. Может быть, об этом неприлично спрашивать, но у ваших исследований не оттуда ли «ноги растут»?

В. Тешуков: Мы оба с молодости выросли в семинаре под названием САМГАД — «семинар по аналитическим методам в газовой динамике». На этом семинаре собирались специалисты со всего Союза, причем не только из академических, но и из прикладных институтов. Обмен результатами шел и идет. Многие задачи, связанные с развитием новой техники, в том числе оборонной, решались при участии математиков, производивших расчеты. Много новых теоретических вопросов связано с этими классами задач. Ударные волны образуются при взрыве — и тогда надо изучать закономерности их распространения. Ударные волны возникают при движении высокоскоростных самолетов — тоже надо исследовать их влияние на аэродинамические характеристики летательного аппарата. При изучении подобных процессов исследователи так или иначе приходят к необходимости понимания общих свойств уравнений, моделирующих указанные явления. В этом смысле, действительно, можно сказать, что наше понимание растет оттуда. Хотя конкретные теоретические исследования, представленные в цикле работ, напрямую с данной тематикой не связаны.

— Коллектив, удостоенный премии, был целенаправленно создан для решения определенного круга задач, или же это было стихийное объединение группы единомышленников?

В. Тешуков: Стартовали мы в разное время, но из одной точки — уравнений газовой динамики. Душой коллектива был чл.-корр. РАН Куликовский Андрей Геннадьевич, объединивший своих учеников и коллег из Математического института им. В. А. Стеклова, МГУ, Московского индустриального университета. А от Института гидродинамики были приглашены мы. Такой коллектив способен охватить очень широкий класс актуальных проблем.

В частности, в названный цикл входят четыре монографии, в том числе наша — «Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости», изданная в 2000 году. А коллеги из Москвы представили труды и по магнитной гидродинамике, и по нелинейной теории упругости, и по вязкоупругости. Но сам подход к задачам, идеология исследования очень близки. Это фундаментальное свойство математических моделей: то, что касается волн на воде, зачастую относится и к любым другим волнам. Понимание в одной области часто создает параллельные аналогии в другой.

В представленный цикл работ были включены также новые результаты по общей теории гиперболических систем уравнений и ее обобщений, которые могут применяться в разных областях науки. В совокупности проведенные исследования определили новый этап в развитии классической теории, связанной с моделированием сложных нелинейных процессов и явлений в природе.

— Отдав долг истории, обратимся к физике. Признаюсь честно: иногда мне удается по формулировке темы исследований понять, о чем идет речь. Но при встрече с «нелинейными волнами, сложными средами, разрывами и их структурами» гуманитарные мозги отказываются повиноваться. Не дайте пропасть в пучине безграмотности!

В. Тешуков: Волновые движения весьма распространены в природе. Если какую-то систему отклонить от равновесия, она стремится к этому положению вернуться, но по инерции часто его проскакивает. И тогда возникает маятниковое, инерционное движение. Так появляются волны на поверхности жидкости, в упругих телах, электромагнитные, звуковые волны — многие процессы связаны с колебаниями, основанными на инерционном движении.

Понятие «нелинейных волн» уже больше относится к вопросам моделирования. Поскольку многие явления устроены очень сложно, модели не всегда адекватно описывают их во всех диапазонах. Самая простая теория — линейная. В ней используются линейные системы дифференциальных уравнений, и решения получаются относительно простыми методами. Линейная теория сейчас достаточно развита и уже наполовину стала классической. Но она, как правило, применима к волнам малой амплитуды. Когда же заходит речь о волнах большой амплитуды, линейная теория уже не годится — начинают очень сильно влиять отклонения, наблюдаемые в волновых движениях. При распространении волны может случиться какое-нибудь резкое изменение параметров. Самый простой пример: волна подходит к берегу, опрокидывается, и вы сразу видите нерегулярное движение, которое существенно отличается от предшествующего. С точки зрения описания здесь уже нужно включать разрывные решения систем дифференциальных уравнений.

— А «сложные среды» — это какие?

В. Тешуков: Сложные с точки зрения моделирования. Речь идет о выделении систем уравнений, которые характеризуют явления, предыдущими моделями не описываемые. Включение новых эффектов усложняет системы нелинейных уравнений, и в результате начинают проявляться некоторые свойства, не характерные для более простых систем. Можно сказать, усложнение систем уравнений связано с приближением к реальности: чем точнее вы хотите описать явление, тем сложнее они становятся.

В. Ляпидевский: Первоначальным объектом была стандартная, классическая система уравнений газовой динамики, описывающая движение газа или любой сжимаемой среды. Добавление в систему новых эффектов позволяет получать результаты в самых отдаленных от газовой динамики областях знания. Например, ряд результатов данного цикла объясняет закономерности движения заряженных частиц в космосе.

Жидкость, в отличие от газа, не сжимается, обладает совсем другими наблюдаемыми свойствами. Но с математической точки зрения динамика жидкостей в областях со свободными границами имеет общие проявления с газовой динамикой — возникают близкие по структуре системы уравнений. На общей базе мы развиваем усложненные уравнения и выходим на явления, которые можно описать в чем-то похожим способом, но со своей спецификой проявления волнового характера движения.

— У нас уже прозвучали слова «разрывные решения». Что это такое?

В. Ляпидевский: В классической газовой динамике ударная волна математически представляет собой некоторый разрыв. Иными словами, мы полагаем, что область перехода от одного состояния к другому представляет собой просто скачок. То же самое в классической теории гидравлики, где такое явление, как гидравлический прыжок, или бор, вполне удовлетворительно описывалось скачком — переходом жидкости с одного уровня на другой. Но задачи, встающие перед наукой сейчас, требуют более тщательной теории. И, на самом деле, если мы рассмотрим движение жидкости с большим разрешением, то никаких скачков не обнаружим, а увидим плавный переход. Модели следующего поколения, которые мы развиваем, позволяют ответить на вопрос, как устроена внутренняя структура таких «прыжков» — математических объектов, которые сначала казались простыми, но, если заглянуть вовнутрь, оказываются сложными.

В. Тешуков: Есть такая присказка, что можно знать ничего обо всем или все ни о чем. «Ничего обо всём» — это совсем сложная модель. (Смеется). В этом случае модель-то мы имеем, но никаких явных решений построить не можем, никаких зависимостей проанализировать — только численно просчитать, и то бывают существенные проблемы. А «всё ни о чем» — можем получить много информации, но на очень узком фронте.

Представим процесс, в котором действует достаточно сложная система уравнений (так называемая система уравнений следующего уровня), включающая описание ряда эффектов: вязкости, теплопроводности, электромагнитных свойств, дисперсии и т.д. Часто соответствующие коэффициенты бывают очень небольшими по величине, и тогда ими можно пренебречь. Получается упрощенная модель, в которой какая-то информация неизбежно теряется. В теория нелинейных гиперболических уравнений потеря информации частично восполняется введением зон разрывов.

Более сложная теория показывает, что никакие это не скачки — просто эти зоны надо немного «растянуть», дабы увидеть, что там на очень малом расстоянии еще идут какие-то процессы. И чтобы разобраться, правильно ли мы описываем движение с помощью разрывов, нужно выяснить, имеет ли введенный нами разрыв структуру, удовлетворяет ли эта структура определенным требованиям.

В. Ляпидевский: Например, мы математически построили какое-то упрощенное решение, с разрывами. Но наблюдается ли такой процесс в природе, можно ли его реализовать? В математике — пожалуйста! А в природе? Как раз существование структуры и показывает, что такое явление мы реализовать можем, что оно в какой-то степени является устойчивым, достижимым, и мы можем к нему прийти, начав движение с некоторого состояния. Другими словами, эта теория отвечает на вопрос: являются ли объекты, которые мы изучаем в простой модели, физически допустимыми.

— А они таковыми являются?

В. Тешуков: По-видимому, да. В природе ведь не все предопределено. В какой-то момент наступает или неустойчивость, или разветвление процесса, когда он мог пойти по одному пути, а почему-то пошел по другому. Это раньше существовала такая точка зрения, что если взять все начальные данные и подставить их в хорошую систему уравнений, то мы все сосчитаем. А потом выяснилось, что не так все просто. В связи с этим выделение устойчивых процессов важно для объяснений регулярно наблюдаемых явлений.

В представленном цикле была обнаружена неединственность некоторых автомодельных решений в теории упругости. А тогда спрашивается: если решение не единственно, природа-то по какому пути идет? Установив эти факты теоретически, наши московские коллеги проверяли их с помощью вычислительного эксперимента, пытаясь понять, при каких классах данных мы попадаем на одно решение, а какие возмущения выводят на другое.

Вопрос устойчивости процесса — один из важнейших вопросов математического моделирования. Если при анализе выясняется, что решение неустойчиво, оно, скорее всего, не реализуется, будет размыто, разбросано возмущениями. Если же оно находится в хорошей области, в области гиперболичности, можно надеяться, что оно действительно что-то описывает, и это что-то можно наблюдать.

Но условия перехода в неустойчивость, например, турбулентность, также очень интересуют аэродинамику.

— Вы очень охотно рассказываете о работах коллег. Может быть, пришла пора поговорить и о собственных?

В. Ляпидевский: Мы начинали как математики. Уравнения газовой динамики давно известны, но нельзя сказать, что хорошо изучены, потому что являются нелинейным объектом. Свойства этого объекта мы и пытаемся понять, начиная со студенческих лет. Постепенно объект стал усложняться, появились расширения всех осваиваемых понятий.

Я занялся волновой тематикой в жидкостях после того, как долгое время изучал просто уравнения движения и их свойства. Проблемы, которые там возникают, гораздо сложнее, когда пытаешься понять не только математические свойства решений, но и реальные физические процессы, которые за ними стоят. В частности, если речь идет об обрушении волн, нужно для начала построить модель процесса, а потом развить математический аппарат, с помощью которого можно эту модель исследовать.

В. Тешуков: Представленные нами работы охватывают определенный класс задач гидродинамики: моделирование движения жидкости со свободными границами, описание движения двухфазной среды…

Валерий Юрьевич, в частности, применял свои методы к объяснению газо-жидкостных режимов течений. Таковые режимы бывают разными: или в воде проскакивают пузырьки газа, или же газ вытесняет жидкость на стенки. А бывает «снарядное течение»: «снаряд» жидкости летит, за ним — «снаряд» газа. Надо понять причину, почему это происходит. Модели позволяют к этому пониманию приблизиться.

В. Ляпидевский: Владимир Михайлович действовал примерно так же — расширял свои объекты введением новых качественных свойств. Например, классические уравнения гидравлики предполагают простую структуру однородного течения жидкости. Введение в этот объект неоднородности скорости приводит к качественному изменению ситуации: совсем другие уравнения, совсем другие методы. Фактически  В. М. развил бесконечномерную теорию гиперболических уравнений. (Улыбается, увидев немой ужас в глазах собеседника. — Корр.) Это только слова такие загадочные. На самом деле, это новая теория, где интегральные методы позволяют обобщить известные свойства классических уравнений газовой динамики на совершенно новом объекте исследований.

В. Тешуков: В математических теориях часто применяется такое обобщение: если у вас есть нечто конечномерное, строится его бесконечномерный аналог. Будучи построенной, такая теория позволяет говорить о корректности уравнений, о диапазоне их применения, и появляются некоторые величины, которые за эту корректность отвечают. Это важно с точки зрения понимания того, насколько адекватно мы описываем процесс.

Хорошо разработанные математические методы позволяют изучать модели, которые относятся к неким классическим типам (гиперболические, параболические, эллиптические уравнения). Но есть системы, которые так просто ни к одному типу не отнесешь. Долгое время они назывались неклассическими. В частности, ряд моделей, возникавших в гидродинамике, связан с интегро-дифференциальными уравнениями. Оказалось, что, если определенным образом обобщить классическую теорию, они уже попадают в класс обобщенно-гиперболических систем, но приобретают другие свойства. Например, если у обычных систем спектры распространения возмущений всегда дискретны (допустим, скорости распространения волн) — одна отличается от другой на конечную величину — то у таких систем спектры могут быть непрерывными. Это новое качество гиперболических систем.

Непрерывные спектры в слое движущейся жидкости — это описание всех внутренних волн. В грубой теории мы считали, что никакого распределения скорости по глубине нет, а просто брали ее среднее значение. В результате фронты возмущений представляли две дискретные характеристики, соответствующие волне, распространяющейся вправо относительно потока, и волне, бегущей влево.

Теперь стало возможно целый ряд систем, возникающих в механике и физике и считавшихся неклассическими, отнести к обобщенно гиперболическим, и на основе аналогий развивать для них такую же теорию, что принята для обычных гиперболических систем. С точки зрения физики — более правильное, более детальное описание явления. А математически это означает, что там, где раньше коэффициентами при производных стояли матрицы, вместо матриц появились интегральные операторы.

Развитие теории разрывных решений для таких систем позволило обнаружить новые типы волн в течениях несжимаемой и сжимаемой жидкости со свободными границами, описать возникновение и развитие вихревых структур при встречном взаимодействии сдвиговых потоков, новые волновые движения пузырьков в жидкости. Позднее (эта работа не вошла в цикл) выяснилось, что новые методы находят применение при анализе движений в пограничных слоях, возникающих на поверхностях тел, обтекаемых высокоскоростным потоком газа.

В. Ляпидевский: За каждой системой, за каждой моделью стоит целый класс явлений, которые нужно хорошо себе представлять, чтобы правильно описать. Правильно в том смысле, что, получив математическое решение, нужно посмотреть на его свойства и подтвердить, что они отражают какие-то экспериментальные факты или численный прямой расчет. Только после получения таких подтверждений модель становится рабочей: с её помощью можно не только что-то объяснять, но и что-то предсказывать.

— О каких-то исследованиях этого плана можно рассказать?

В. Ляпидевский: Класс задач большой. Например, изучение стратифицированных жидкостей. Вода неравномерно прогревается, соленая смешивается с пресной, происходит расслоение по плотности — причины могут быть различными.

Очень популярная тема — влияние мощных подводных водопадов. Холодные воды, проникающие очень далеко — на сотни километров — влияют и на продуктивность океана, и на распределение тепла по планете. Класс задач, которыми мы занимаемся, прямо направлен на то, чтобы понять эти явления.

Очень интересно описание течений, связанных с обтеканием воздухом горных массивов. Последняя задача, которую М. А. Лаврентьев ставил перед ученым советом Института гидродинамики в конце 70-х — проблема новороссийской боры. Это хорошо известный природный феномен — внезапное развитие сильного присклонового ветра, вызывающего массовые разрушения и пр. Оно как раз относится к тому классу явлений, которыми мы занимаемся. Там налицо изменение плотности по высоте, и холодный воздух, который переваливается через гору, движется определенным образом. Чтобы это описать, необходимо новое поколение моделей, учитывающее и турбулентность, и некоторые другие реальные факторы.

В. Тешуков: Нас окружают воздух и вода. Основная деятельность человека проходит в этой среде. И всегда модели механики будут в этой деятельности присутствовать.

Невозможно понять явления, происходящие в океане, не изучив процессы в стратифицированных жидкостях. Почему, например, в Гибралтаре течение сверху идет в одну сторону, а снизу — в другую? А течения формируют климат на земном шаре. Чтобы понять причины явлений, нужно их промоделировать. Ничего лучшего никто не придумал. От этого нам не уйти, разве что перелететь на другую планету. Но там возникнут новые проблемы.

— Валерий Юрьевич, наверное, последний вопрос. От самых разных людей слышал: «Ляпидевский — самый главный подводный пловец в Академгородке». Подводным спортом продолжаете заниматься?

В. Ляпидевский: Более того, даже привлек к этой деятельности Владимира Михайловича. До сих пор плаваем регулярно.

Теперь это увлечение переросло уже и в науку. Я и внутренними волнами начал заниматься, потому что ездил на Дальний Восток к океану. Там как раз наблюдается выход внутренних волн к берегу. Неискушенный зритель каждый вечер может видеть, как к берегу идут серии полосок. На самом деле так проявляются мощные процессы, происходящие на 30-40-метровой глубине: движение внутренних границ раздела между теплой и холодной водой. Я много времени потратил, чтобы это себе уяснить. Когда знаешь какие-то факты, которые трудно выразить словами, начинаешь думать, как объяснить их с помощью формул.

стр. 7-8