САУНДЕРС МАКЛЕЙН — ДОН КИХОТ МАТЕМАТИКИ

14 апреля 2005 года в Сан-Франциско на 96-м году закончилась удивительная жизнь замечательного американского математика Саундерса Маклейна, одного из создателей теории категорий, вставшей в ряд самых ярких, противоречивых, амбициозных и героических математических достижений XX века.

Теория категорий наряду с теорией множеств служит универсальным языком современной математики. Категории, функторы и их естественные преобразования широко используются во всех разделах математики как удобные средства, позволяющие единообразно смотреть на различные конструкции и формулировать общие свойства разнообразных структур. Значение теории категорий не может быть сведено к узким рамкам удобства ее выразительных возможностей. Эта теория существенно изменила воззрения на основания математики, расширила возможности ее свободного мышления.

Теория множеств, гениальное творение Георга Кантора, в XX веке стала рассматриваться как единственно возможное обоснование современной математики. Математика начала превращаться в часть канторовой теории множеств. Тезис о невозможности обоснования математики вне теории множеств воспринимается многими действующими математиками, педагогами и философами как очевидный и не требующий доказательства. Парадоксальным образом теоретико-множественная установка превратилась в устойчивый догмат. Разумеется, такой доктринерский взгляд на основания математики не только ложен, но и противоречит лейтмотиву и пафосу всего творчества Кантора, который еще в 1883 году писал, что «сущность математики заключается именно в ее свободе».

В рамках теории категорий в 1960-е годы была осуществлена социализация теоретико-множественной математики. Возникла теория топосов, предоставляющая широкий класс категорий, в рамках которого обычная теория множеств может восприниматься как рядовой индивидуум. Тем самым математика получила новое бесконечное множество степеней свободы.

Маклейн при жизни стал легендарной фигурой науки США. Он был избран в Национальную академию наук США в 1949 году и получил в 1989 году высшую научную награду США — Национальную медаль науки. Маклейн был вице-президентом Национальной академии наук США и Американского философского общества, избирался президентом Американского математического общества и Математической ассоциации Америки.

Исследования по гомологической алгебре и теории категорий Маклейн вел совместно c С. Эйленбергом (1913-1998), с которым они познакомились в 1940 году. Жемчужиной их сотрудничества стала теория категорий, родившаяся в 1942 году. Эту теорию сам Маклейн всегда считал «естественным и, возможно, неизбежным аспектом упора математики XX века на аксиоматические и абстрактные методы». Термин «теория категорий» возник у ее авторов из общего интереса к философии и, в частности, в мыслях об Иммануиле Канте.

Теория множеств царствует в современной математике. Шутовская роль «абстрактной чепухи» в математике отведена теории категорий. Из истории и литературы общеизвестно, сколь сложны и непредсказуемы отношения и взгляды правителя и шута. Нечто подобное наблюдается во взаимосвязях и взаимозависимостях теории множеств и теории категорий.

С логической точки зрения теория множеств и теория категорий суть теории первого порядка. Первая оперирует множествами и отношением принадлежности между ними. Вторая говорит об объектах и морфизмах (или стрелках). Большой разницы между соответствующими атомарными формулами, конечно, нет. Однако содержательная разница между понятиями, формализованными этими атомарными формулами, колоссальна. Стационарному миру Цермело-Френкеля, перенасыщенному копиями равномощных множеств, противостоит свободный мир категорий — ансамблей произвольной природы, определяемых динамикой своих преобразований.

Замечательные продвижения в теории категорий связаны с именами А. Гротендика и Ф. У. Ловера. Созданная ими теория топосов возникла при «элиминации точек», развивающей идею необходимой инвариантности изучаемых в математике объектов. На этом пути возникли представления о переменных множеств, приведшие к концепции топоса и созданию социума теоретико-множественных моделей. В новых рамках свое естественное место заняли булевозначные модели как топосы, реализующие аристотелеву логику и открывающие царский путь к решению проблемы континуума, данному К. Геделем и П. Коэном. Эти топосы стали основной ареной современного булевозначного анализа, получившего отклик в России, у нас в новосибирском Академгородке.

Прощаясь с Маклейном, читая его глубокие работы последних лет, невозможно не заразиться юношеской преданностью математике и ее творцам. Его блестящие эссе — гимн математике, немыслимой без доказательств.

Великий творец, хозяин и слуга математики, Маклейн был беззаветно предан идеалам истины и свободомыслия этой древней науки. Он с честью преодолел многолетние непонимание и шквал насмешек над своим гениальным детищем — теорией категорий. Маклейн стал вечным и трагикомичным математическим Рыцарем Печального Образа…

С. Кутателадзе, профессор
г. Новосибирск

стр. 7