В ЗЕРКАЛЕ ЦИФР И УРАВНЕНИЙ
В.Старовойтов,
кандидат физико-математических наук,
старший
научный сотрудник
Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева.
Поводом для написания статьи "В зеркале цифр и уравнений"
послужил молодежный проект "Динамика двухкомпонентных сред",
финансируемый Сибирским отделением РАН. Этот проект возглавляет
Виктор Старовойтов, старший научный сотрудник Института
гидродинамики. О результатах теоретической
работы он отчитывался на ставшей уже знаменитой научной сессии
Президиума СО РАН (15.04.99 г.). Группе молодых математиков
удалось найти новые подходы к решению некоторых классических
задач гидродинамики.
Практичный читатель может спросить, а есть ли какая-нибудь польза
от нашего проекта народному хозяйству? Честно отвечу -- никакой.
Результаты исследований не увеличат количество добываемой
нефти, не заставят самолеты летать быстрее. По крайней мере, в
ближайшем будущем. Но от теоретических исследований, по моему
мнению, этого и не требуется. Вообще говоря, и это мое личное
убеждение, с которым можно спорить, от экспериментаторов тоже не
следует требовать отдачи в виде разработок новых машин и
механизмов. Этим должны заниматься инженеры. Задача научных
работников -- выявлять внутренние закономерности явлений. Уже
потом, на основе открытых учеными фактов и законов, инженеры
должны придумывать и изобретать новые приборы и технологии.
Конечно, подготовка инженеров должна быть на достаточно высоком
уровне. Еще в начале века примерно таковой ситуация и была. Более
того, зачастую инженеры вносили существенный вклад в
теоретические исследования. Например, Борис Григорьевич Галеркин
предложил метод доказательства разрешимости краевых задач для
дифференциальных уравнений. Этот метод и сегодня один из мощных
для исследовательской работы теоретика. В наше время понятие
"инженер" несколько сузилось. Чаще всего мы подразумеваем под ним
прораба на стройке или мастера в цехе, единственная задача
которых -- управление производством.
Исследование реального объекта или явления проходит несколько
этапов. Сначала экспериментатор проводит наблюдения, измеряет,
старается понять общую структуру объекта. Далее, на основе
полученных данных и ранее известных законов строится модель
явления. То есть выписывается система дифференциальных уравнений
или каких-либо других соотношений, описывающих исследуемый
объект. Вообще говоря, можно предложить много моделей для одного
и того же явления. Один человек представляет себе течение жидкости
как движение молекул, другой -- использует макроскопический
подход. Возникает проблема выбора модели. Какими же принципами
следует при этом руководствоваться? Конечно, хотелось бы, чтобы
модель наиболее точно, полно и адекватно описывала реальность. С
другой стороны, стремление к абсолютной полноте и точности
приводит к усложнению уравнений, увеличению их числа и, как
следствие, к большим трудностям при их исследовании. Если сразу
взяться за сложную задачу, можно обломать об нее все зубы и не
получить ничего. Более предпочтительно -- идти вперед шаг за
шагом. Задача также не должна быть слишком легкой. Она должна
стимулировать развитие новых методов исследования. Необходимо
найти золотую середину. Достаточно вспомнить, где зародилась наша
цивилизация, где жили народы, стоявшие у ее истоков. На севере
суровая природа подавляла развитие человека, а ближе к экватору,
где пища растет и бегает в изобилии, человеку не требовалось
прилагать больших усилий для выживания, что также не
способствовало прогрессу.
Не последнюю роль в выборе модели да и вообще в научном
исследовании играют эстетические соображения. Здесь я могу
привести слова одного из величайших математиков Анри Пуанкаре:
"...поиски прекрасного приводят нас к тому же выбору, что и
поиски полезного; и совершенно таким же образом экономия мысли и
экономия труда, к которым по мнению Маха, сводятся все стремления
науки, являются источниками как красоты, так и практической
пользы". (А.Пуанкаре, "Наука и метод", книга 1, гл.1)
Для того, чтобы дать ответ на вопрос, насколько приемлема та или
иная модель, она должна быть всесторонне изучена. Основная роль
здесь отводится теоретикам. Они исследуют не реальные объекты, а
их отражение в зеркале цифр и уравнений, их модели.
Наша группа, состоящая из пяти человек, занимается исследованием
моделей двухкомпонентных сплошных сред. К таковым можно отнести
системы типа жидкость--жидкость, жидкость--твердое тело,
жидкость--газ. Все три ситуации могут встретиться в задачах о
фазовых переходах. В данной статье я ограничусь рассказом о
задаче, описывающей фазовый переход типа жидкость--твердое тело.
Явление подобного рода мы наблюдаем в наших широтах довольно
часто. Достаточно пойти зимой к реке и убедиться, что часть воды
замерзла и перешла из жидкого состояния в твердое -- лед. Можно
просто выглянуть в окно на заснеженную улицу. В южных странах
снег -- редкое явление, но фазовые переходы встречаются и там.
Например, плавление металла. Какие факторы нужно учесть, чтобы
описать данное явление? Во-первых, жидкость является
теплопроводящей средой, и ее плотность меняется скачком при смене
агрегатного состояния -- например, лед легче воды. Во-вторых,
необходимо определить движение твердой фазы в окружающей ее
жидкости. И, в-третьих, течение самой жидкости также должно быть
описано. Сложив вместе все три компоненты, мы получим очень
сложную математическую задачу, которая соответствует простой
повседневной ситуации -- кусочек льда плавает в вечернем коктейле.
В наше время не каждый может позволить себе исследовать данное
явление практически, поэтому остается другой, быть может более
трудоемкий, но, поверьте, не менее увлекательный путь --
исследовать задачу теоретически.
Сразу скажу, что разрешимость данной задачи -- вопрос открытый. Я
имею в виду отсутствие строгого математического доказательства
этого факта. Рассуждения типа: "Мы видим, как плавает кусочек
льда, поэтому решение должно существовать", -- неприемлемы. Как я
уже говорил, следует различать наблюдаемое явление и модель,
используемую для его описания. Чтобы найти подход к сложной
задаче, можно попытаться разбить ее на составные части или
рассмотреть для начала более простые постановки.
Простейшая постановка задачи о фазовом переходе -- это так
называемая задача Стефана. В ней не учитывается тепловое
расширение среды и ее движение. Требуется определить
распределение температуры и положение границы фазового перехода.
Данная задача стала к настоящему моменту классической. Ей
посвящены тысячи научных статей, и она довольно хорошо изучена.
Но и здесь есть еще много открытых вопросов. Слова "простейшая
постановка" не должны вводить в заблуждение. Выглядит она
действительно подкупающе просто, однако в данном случае внешняя
простота обманчива. В этом, видимо, и состоит один из
привлекательных моментов задачи.
Задача Стефана может служить основой для нашей задачи, которую мы
назовем "конвективной задачей Стефана", так как там учитывается
движение среды. Необходимо на тепловые процессы наложить движение
твердой фазы и течение жидкой. Таким образом, еще одним камнем в
фундаменте является задача о движении твердого тела в жидкости.
На эту тему написано довольно мало статей. По крайней мере нам
удалось отыскать всего несколько. Я имею в виду математические
работы. Вообще сложилась довольно парадоксальная ситуация. При
обилии механических и вычислительных исследований, что говорит о
большой прикладной ценности задачи, количество работ, посвященных
ее математическим аспектам, совершенно незначительно. Основная
трудность задачи состоит в описании возможных столкновений
движущегося твердого тела с другими телами и со стенками сосуда,
в котором находится жидкость. В эти моменты качественно
изменяется геометрия области течения.
Первым, кто исследовал математически один из вариантов этой
задачи, видимо, был аспирант Института гидродинамики Н.Юдаков
(1974 г.). Он рассмотрел одно твердое тело, движущееся в
жидкости, заполняющей все пространство. Столкновения, таким
образом, исключались. С того времени в течение почти четверти
века не было достигнуто сколько-нибудь значительного прогресса.
Лишь в последние несколько лет начали появляться статьи на эту
тему, в основном во Франции, в Германии и в России. И здесь нам
есть чем похвастаться, хотя это, быть может, и не очень скромно.
Но, как говорится, скромность украшает девушку, если у нее нет
других украшений. Наши исследования в этой области пока можно
признать наиболее успешными. Основой для этого послужил новый
подход, в котором предлагается рассматривать твердое тело как
часть жидкости, где ее вязкость бесконечно велика. Жидкость с
бесконечной вязкостью не может деформироваться, что и дает нам
абсолютно твердое тело. Получен ряд интересных качественных
результатов, касающихся поведения твердого тела вблизи стенки
сосуда. Например, если границы тела и сосуда достаточно гладкие,
а жидкость вязкая и несжимаемая, то есть ее течение описывается
классическими уравнениями Навье-Стокса, то тело у стенки
замедляется и подходит к ней с нулевой скоростью. Наглядно этот
эффект можно представить следующим образом. Если бросить
металлический шарик в стакан с водой, то мы не должны, вообще
говоря, услышать, как он ударится о дно. Но мы ведь слышим это в
реальности. В чем же дело? Видимо, модель Навье-Стокса
неприменима в такой ситуации. Во-первых, вода -- жидкость
сжимаемая, хотя и незначительно. Во-вторых, ее вязкость не очень
велика. Если мы возьмем вместо воды мед, то наши результаты будут
лучше согласовываться с действительностью.
На основе двух описанных задач нами достигнут определенный
прогресс и в решении конвективной задачи Стефана. Получен ряд
довольно интересных результатов для некоторых упрощенных ее
постановок. Работа продолжается, и о ее окончательных итогах
говорить пока рано.
Наш проект не исчерпывается задачами, о которых рассказано выше.
Исследуются модели, описывающие течения смесей двух жидкостей,
движение пузырьков газа в жидкости, волны на поверхности раздела
двух жидкостей, равновесие границы двух жидкостей в капилляре
переменного радиуса. Все эти задачи не менее интересны, однако
рассказать о них в рамках газетной статьи не представляется
возможным.
Молодежный грант явился существенным подспорьем в нашей работе.
Конечно, по западным меркам выделенные нам средства покажутся
смешными, но мы живем не на Западе и уже научились соизмерять
свои потребности с возможностями. В конце концов, деньги
определяют не все, хотя какой-то их минимум все же необходим. Не
получили бы мы грант -- искали бы средства к существованию в
другом месте. Многие у нас работают за границей. Некоторые
представители старшего поколения их осуждают, хотя мне лично
мотивы такого к ним отношения не совсем понятны. Если наша страна
не может в настоящее время прокормить своих ученых, а, как мне
кажется, академическая наука должна содержаться в основном за
счет государства, то что плохого в том, что часть наших ученых
будут кормить другие, более благополучные страны? Где бы мы ни
работали, мы остаемся гражданами России, представителями своих
институтов. Мы публикуем статьи, указывая в них свой институт в
качестве места работы. Кроме того, те, кто поработал за границей,
знают, что в бытовом плане жизнь там гораздо проще. Не нужно
садить картошку, добывать материалы для ремонта квартиры и т.д.
Ты как бы находишься в творческой командировке и все свои усилия
направляешь на научную работу. Кроме того, есть еще один
немаловажный фактор, способствующий отъезду именно молодых ученых
за рубеж -- естественное стремление посмотреть мир. Надо
заплатить уж очень большие деньги, чтобы человек от этого
отказался. Следует отметить, что последняя причина перестает
играть определяющую роль через пару лет пребывания за границей.
Суждения противоположной направленности, которые недавно можно
было услышать от одного из руководителей университета, я тоже не
могу разделить. Пусть, мол, уезжают, у нас длинная скамейка
запасных. Скамейка у нас совсем не длинная, и уже сейчас
ощущаются проблемы. Если честно, то желания преподавать в
университете за символическую плату с каждым семестром становится
все меньше и меньше.
В целом же, если создать у нас пусть не хорошие, но терпимые
условия, отток ученых за границу хоть и не прекратится, но
значительно уменьшится.
И, наконец, несколько пожеланий по финансированию молодежных
проектов. Хотелось бы, чтобы средства предусматривались не только
на заработную плату. Так как на командировки деньги не
выделялись, то не было никакой возможности съездить на
какую-нибудь конференцию. Экспериментаторы, насколько я знаю, не
могли приобрести по этой же причине никаких материалов или
оборудования. Кстати, размер финансирования экспериментальных
грантов был примерно в два раза выше, чем теоретических, что
мотивировалось затратами на закупку этих самых материалов. В
итоге экспериментаторы просто получили в два раза большую
зарплату. Это, конечно, мелочи, недостойные внимания, но хотелось
бы, чтобы при планировании новых проектов наше научное
руководство учитывало бы подобные замечания.
стр.
|
