А.Д.АЛЕКСАНДРОВ ОБ ЕВКЛИДЕ И СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКЕ
Юрий Решетняк, академик
Семен Кутателадзе, профессор
4 августа — день 90-летия Александра Даниловича Александрова
(1912-1999), выдающегося математика XX века, одного из ярких
людей российской науки. Первый том избранных трудов А.Александрова,
вышедший в серии "Классики советской математики",
основанной английским издательством Гордон и Брич, снабжен
следующим суждением профессора Д.Е.Эдмунса из Университета
Сасекс: "Александров — гигант математики 20-го века".
В научной среде принято проводить приуроченные к памятной дате
конференции и семинары, издавать книги трудов и воспоминаний,
публиковать библиографические очерки. Не станет исключением и
обсуждаемая годовщина.
26 апреля состоялось заседание Московского математического
общества, посвященное А.Александрову, где главный доклад о нем
сделал его ученик, академик А.Погорелов. С 16 по 23 июня в
Санкт-Петербурге прошла большая конференция — Вторая
российско-германская геометрическая встреча, посвященная памяти
А.Александрова, — которую открыл другой его ученик, академик
Ю.Решетняк. С 9 по 20 сентября аналогичное собрание ученых —
Сибирская школа геометрии — состоится в новосибирском
Академгородке.
Издательство "Наука" выпустило в этом году книгу "Академик
Александр Данилович Александров. Воспоминания. Публикации.
Материалы" под редакцией профессора Г.Идлиса и академика
О.Ладыженской. Нет недостатка и в биографических статьях. Они
появятся в "Сибирском математическом журнале", "Успехах
математических наук" и других изданиях.
Институт математики им. С.Л.Соболева выпустил и раздарил
желающим биобиблиографический указатель работ Александра
Даниловича. В этих обстоятельствах он сам счел бы бесконечно
скучным и нудным очередной газетный рассказ о своем жизненном
пути.
До последних дней жизни академик Александров оставался отважным
служителем истины, пытливым ученым, увлеченным педагогом,
глубоким моралистом, тонким философом, блестящим полемистом и
страстным проповедником науки. Нет сомнений, вечную память
Александру Даниловичу сотворил он сам своими блестящими
сочинениями по специальным и общим вопросам науки и жизни. В этой
связи мы подобрали для читателя небольшой отрывок одной из
ярких лекций Александра Даниловича Александрова как повод для
воспоминания и восхищения.
|
|
В греческой математике рассматривались только такие фигуры и
функции, которые строились и определялись, исходя из элементарных
понятий и принципов построения, как проведение отрезков,
окружностей и т.п. Греки дали алгоритм для вычисления числа
"пи" — отношения окружности к диаметру, вычисляли таблицы для синуса,
исследовали разнообразные конкретно, конструктивно заданные
кривые. Но произвольные кривые они исключали из математики,
называя их "механическими". Так же не было у них понятий о
произвольном вещественном числе и тем более о произвольной
функции. Математика греков была конструктивной. То, что называют
элементарной математикой, если не понимают под этим просто
содержание школьного курса, и обозначает по существу математику,
основанную на применении простейших построений и алгоритмов.
Таким образом, нынешняя математика с алгоритмической,
конструктивной установкой как бы возвращается к принципам
греческой математики, но, понятно, на основе всего
предшествующего развития. В некоторых отношениях она по своему
духу ближе к Евклиду и Архимеду, чем к Кантору. Лет двадцать пять
назад, развивая метод приближения общих поверхностей
многогранниками, составляемыми из многоугольников, я выразил это
в виде лозунга: "Назад — к Евклиду!"
Поскольку математика обращается к деятельности человека, к самой
его логике и построению теорий, она оказывается в этом смысле
наукой гуманитарной. Имеющий до сих пор хождение взгляд,
причисляющий математику к естественным наукам, давно перестал
быть верным, во всяком случае с тех пор как в ней появились
теории, не имеющие естественного прообраза. Теперь же этот взгляд
оказывается тем более ошибочным. Конечно, математика не является
и гуманитарной наукой, но занимает особое положение, относясь в
своих истоках к наукам естественным и в последних теориях — до
некоторой степени к наукам гуманитарным.
Гуманитарная сторона математики развилась также из других
источников: в ней возникли теории информации, игр, операций,
управления, оптимизации и математических методов экономики. Во
всех случаях речь идет о вещах, связанных прежде всего с
человеческой деятельностью, как передача информации, игра или
военная операция и т.п. Все эти теории связаны с кибернетикой,
которую определяют как науку о процессах управления в сложных
динамических системах. В понятие управления включают понятия о
цели управления, о передаче, приеме и переработке информации,
относящиеся в первую очередь к человеческой деятельности.
Определяемая в математике мера "количество информации"
представляет собой не что иное, как иначе выраженную меру
вероятности или, вернее, невероятности данного сообщения и вообще
какого-либо явления среди массы явлений того же общего типа.
Введенное Больцманом в 1871 г. определение энтропии как меры
вероятности состояния физической системы оказывается "количеством
информации", заключенной в этом состоянии, взятым с обратным
знаком.
В целом для математики наших дней характерно возрастание
удельного веса теории вероятностей. Теория эта зародилась еще в
XVII в., но долгое время оставалась как бы на периферии
математики. Теперь она встала в ряд с другими основными
математическими теориями не только по объему и значению ее
собственных задач и приложений, но и по тому влиянию, какое она
начинает оказывать на другие области непосредственно или через
теорию информации.
Общая черта новых теорий математики заключается еще в том, что их
предмет составляют сложные дискретные системы, как алгоритм
представляет собой дискретную систему предписаний, математический
вывод и математическая теория с точки зрения математической
логики — дискретную систему взаимосвязанных элементов,
действующих дискретными шагами, и т.д. Вместо прежнего
подавляющего господства математики непрерывного выросло значение
дискретной математики.
Суммируя все сказанное, мы можем коротко отметить следующие
особенности математики наших дней.
1. Возрастание роли алгоритмов и алгоритмических решений вплоть
до проникновения их в самые основы математики, когда главные ее
понятия определяются алгоритмически. Математика становится
абстрактной инженерной наукой, конструирующей аппараты для
решения задач других наук и практики. В этом качестве она
зародилась в Египте и Вавилонии и теперь возвращается к тому же
на новом уровне.
2. Включение в сферу математики — в свойственной ей абстрактной
форме — исследования человеческой деятельности (в математической
логике, теории алгоритмов, информации, игр и др.). Математика,
возникшая в качестве эмпирической естественной науки, становится
в указанном смысле наукой гуманитарной.
3. Существенное возрастание объема и роли дискретной математики,
теорий сложных дискретных систем.
4. Существенное возрастание объема и роли теории вероятностей,
как непосредственно, так и через теорию информации и кибернетику.
Лет двадцать назад, читая курс истории математики в Ленинградском
университете, я говорил о новом этапе развития математики. Теперь
этот новый этап обозначился совершенно отчетливо, и есть
достаточные основания считать, что его характерные черты будут
усиливаться, преобразуя математику во все большей степени.
А.Д.Александров, академик.
1988 г.
стр.
|