«Наука в Сибири»
№ 40 (2725)
8 октября 2009 г.
ОБРАТНЫЕ
И НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН при поддержке РФФИ, НГУ, ряда институтов СО РАН, Югорского НИИИТ, компаний «Бэйкер-Хьюз», «Интел» и «Шлюмберже» провел международную молодежную научную школу-конференцию «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». Школа-конференция проходила с 10 по 20 августа 2009 года в аудиториях Института математики. В работе конференции участвовали представители Казахстана, Киргизии, Китая, США, Турции, Франции, Узбекистана, Украины и 16 городов России.
Профессор С.И. Кабанихин, председатель оргкомитета,
главный научный сотрудник
лаборатории волновых процессов ИМ СО РАН
 |
Научная программа школы-конференции включала в себя 42 пленарные
В научную программу школы-конференции входили теория обратных и некорректных задач, методы регуляризации, итерационные и прямые методы решения обратных задач, численные методы решения прямых и обратных задач акустики, томографии, геоэлектрики, сейсмологии, гравиметрии, теории переноса и др.
Специальные призы за наиболее интересные лекции были присуждены
 |
Что такое обратные
и некорректные задачи?
Первые публикации по обратным и некорректным задачам появились в первой половине XX века. Они были связаны с исследованиями физиков (обратные задачи квантовой теории рассеяния, электродинамики, акустики), геофизиков (обратные задачи электроразведки, сейсмики, теории потенциала), астрономии и других областей естествознания. С появлением мощных ЭВМ область приложений обратных и некорректных задач охватила практически все научные дисциплины, в которых используются математические методы. Главные направления применения — это геофизика, астрономия, визуализация данных, медицинская и промышленная томография, дефектоскопия и дистанционное зондирование и многое другое.
В прямых задачах математической физики исследователи стремятся найти (в явной форме или приближенно) функции, описывающие различные физические явления, например, распространение звука, тепла, сейсмических колебаний, электромагнитных волн и так далее. При этом свойства среды (коэффициенты уравнений), а также начальное состояние процесса (в нестационарном случае) или его свойства на границе (в случае ограниченной области и/или в стационарном случае) предполагаются известными. Однако именно свойства среды на практике часто являются неизвестными. А это означает, что необходимо ставить и решать обратные задачи, в которых требуется определить либо коэффициенты уравнений, либо неизвестные начальные или граничные условия, либо местоположение, границы и другие свойства области, в которой происходит исследуемый процесс. Эти задачи в большинстве случаев некорректны (т.е. в этих задачах нарушено хотя бы одно из трех свойств корректности — условие существования, единственности и устойчивости решения по отношению к малым вариациям данных задачи). А искомыми коэффициентами уравнений являются, как правило, плотность, электропроводность, теплопроводность и другие важные свойства исследуемой среды. Также очень часто в обратных задачах требуется найти местоположение, форму и структуру включений, дефектов, источников (тепла, колебаний, напряжения, загрязнения) и так далее. Неудивительно, что при таком широком наборе приложений, теория обратных и некорректных задач с момента своего появления стала одной из наиболее стремительно развивающихся областей современной науки.
Основы теории обратных и некорректных задач были заложены в СССР, начиная с середины XX века. Однако в последние десятилетия по известным причинам лидерство российской школы по обратным и некорректным задачам пошатнулось. Очень много способных специалистов, в том числе молодых, уехали из страны. И если за рубежом издано уже более 11 тысяч книг, в названии которых есть слова «обратные задачи», то в России такие книги появляются все реже и реже. Правда, обнадеживающим является издание в прошлом году учебника («Обратные и некорректные задачи», С. И. Кабанихин, СНИ, 2008) с грифом «Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки РФ для студентов вузов по специальностям «Прикладная математика и информатика», «Прикладная математика», «Механика», «Прикладная механика».
Каждый человек ежеминутно решает обратные и некорректные задачи. И решает их, как правило, быстро и эффективно (если, конечно, находится в добром здравии и ясном сознании). Возьмем, например, зрительное восприятие. Установлено, что за минуту мы фиксируем лишь конечное число точек окружающего мира. А как же тогда мы видим все? Мозг (в этой ситуации — мощный персональный компьютер) по увиденным точкам восполняет (интерполирует и экстраполирует) все, что глаз не успел зафиксировать. Ясно, что восполнить истинную картину (в общем случае — объемную и цветную) по нескольким точкам можно лишь в случае, когда она уже более-менее знакома (большинство предметов и образов мы уже видели, а иногда и касались руками). То есть, несмотря на сильную некорректность (неединственность и неустойчивость решения) задачи (восстановить по нескольким точкам наблюдаемый объект и все, что его окружает), мозг решает эту задачу довольно быстро. Почему? Он использует богатый опыт (априорную информацию). И вообще, если мы хотим понять что-то достаточно сложное, решить задачу, вероятность ошибки в которой достаточно велика, мы, как правило, приходим к неустойчивой (некорректной) задаче.
Можно сказать, что человек (особенно, склонный искать нестандартные пути решения) постоянно сталкивается с некорректными задачами. В самом деле, каждый понимает, как легко ошибиться, пытаясь восстановить прошлое по некоторым фактам настоящего (проследить мотивы и детали преступления по имеющимся уликам, понять причины зарождения и этапы развития болезни по результатам обследования и т.п.). Или заглянуть в будущее (предвидеть жизненный путь ребенка, направление развития страны и вообще какого-либо достаточно сложного процесса). Или проникнуть в зону недоступности и понять, что там происходит (исследовать внутренние органы человека, обнаружить месторождение полезных ископаемых, узнать что-либо новое о Вселенной и т.д.). В сущности, любая попытка расширить границы непосредственного (чувственного, зрительного, слухового и т.п.) восприятия окружающего мира приводит к некорректным задачам. Казалось бы, можно сказать, что, научившись решать устойчивые (корректные) задачи, математики перешли к более сложным неустойчивым (обратным и некорректным) задачам. Но исторически это совсем не так, поскольку во все века человек был окружен некорректными задачами, и математики пытались решать такие задачи, обходясь без соответствующих терминов.
Обратные и некорректные задачи объединяет одно важное свойство — неустойчивость решения по отношению к малым ошибкам измерений данных. В большинстве интересных случаев обратные задачи являются некорректными, а некорректные задачи, как правило, можно сформулировать как обратные по отношению к некоторым прямым (корректным) задачам. Но поскольку исторически обратные и некорректные задачи формулировались и изучались довольно часто независимо и параллельно, сейчас в научной литературе используются оба этих термина.
Подводя итоги, можно сказать, что специалисты по обратным и некорректным задачам занимаются исследованием свойств и методов регуляризации неустойчивых задач. Иначе говоря, математики пытаются создавать и изучать устойчивые методы приближения неустойчивых отображений. С точки зрения линейной алгебры это означает поиск приближенных методов нахождения нормального псевдорешения систем линейных алгебраических уравнений с прямоугольными, вырожденными или плохо обусловленными матрицами. В функциональном анализе главным примером некорректных задач является операторное уравнение Aq=f, в котором оператор А является компактным (вполне непрерывным). В последнее время появились работы, в которых некоторые задачи математической статистики трактуются как обратные задачи теории вероятностей. С точки зрения теории информации, специалисты по обратным и некорректным задачам исследуют свойства отображений компактов с большой эпсилон-энтропией в таблицы с малой эпсилон-энтропией.
Немного об истории
Как известно, многие математические понятия и постановки задач возникали в результате исследования тех или иных физических процессов или явлений. Тем более это справедливо для теории обратных и некорректных задач. Философское утверждение Платона о том, что человечеству в процессе познания доступны только тени на стене пещеры и эхо (данные обратной задачи), явилось предвестником решения Аристотелем задачи восстановления формы Земли по ее тени на Луне (проективная геометрия). Введение физического понятия мгновенной скорости привело И. Ньютона к открытию производной, а проблема неустойчивости (некорректности) задачи численного дифференцирования функции, заданной приближенно, актуальна и по сей день. Исследования лорда Рэлея по акустике побудили его поставить вопрос о возможности нахождения плотности неоднородной струны по ее звучанию (обратная задача акустики), что предвосхитило развитие сейсморазведки, с одной стороны, и развитие теории спектральных обратных задач, с другой. Изучение движения небесных тел и задачи оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки, привело А. Лежандра и К. Гаусса к переопределенным системам алгебраических уравнений и к созданию метода наименьших квадратов. О. Коши предложил метод наискорейшего спуска для нахождения минимума функции нескольких переменных. В 1948 году Л. В. Канторович обобщил, развил и применил эти идеи к операторным уравнениям в гильбертовых пространствах. В настоящее время метод наискорейшего спуска, наряду с методом сопряженных градиентов, являются одними из самых популярных при решении некорректных задач. Стоит отметить, что Л. В. Канторович первым обратил внимание на то, что предложенный им метод сходится лишь по функционалу в случае, когда задача некорректна.
Таким образом, отдельные обратные и некорректные задачи с давних пор были объектом исследования ученых в разных областях знания. Тем не менее, математические особенности некорректных задач были сформулированы Адамаром только в начале XX века, а вместе с тем встал вопрос о целесообразности поиска единого подхода к решению таких задач. Тезис о том, что некорректных задач нет, а есть задачи плохо поставленные, одних исследователей охлаждал, а других побуждал искать новые пути к решению этих «неправильных» задач. Р. Куранту убежденность в том, что неустойчивые задачи не имеют физического смысла, не помешала решить сильно некорректную задачу восстановления функции по ее сферическим средним. С. Л. Соболев в 1953-55 гг. был научным консультантом В. К. Иванова по докторской диссертации «Исследования по обратной задаче теории потенциала», давшей теоретическое обоснование ряда обратных задач гравиразведки. Из классической теоремы Коши-Ковалевской следует, что решение широкого круга обратных и некорректных задач существует и единственно, но лишь в классе аналитических функций. Л. В. Овсянников доказал, что требование аналитичности по выводящей переменной можно существенно ослабить. В. Г. Романов, развивая метод шкал банаховых пространств Л. В. Овсянникова и Л. Ниренберга, показал, что для широкого круга обратных задач можно избавиться от условия аналитичности по двум переменным — по выводящей пространственной переменной и по временной переменной. Эти исследования открыли дорогу к изучению многомерных обратных задач геофизики, базовой моделью в которой является горизонтально-слоистая среда.
В одной статье невозможно рассказать обо всех аспектах теории обратных задач и ее приложений. Упомянем лишь два направления, существенный вклад в зарождение и развитие которых внесли ученые, работавшие в новосибирском Академгородке — В. Е. Захаров и А. Б. Шабат (метод обратной задачи рассеяния), А. С. Алексеев и С. В. Гольдин (обратные задачи геофизики). Метод обратной задачи рассеяния был применен для решения нелинейных уравнений математической физики (уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Кадомцева-Петвиашвили и др.) и стимулировал новые исследования в различных областях математики и физики (спектральная теория дифференциальных операторов, классическая алгебраическая геометрия, релятивистские струны и др.). Метод обратной задачи рассеяния называют жемчужиной математической физики ХХ века. Результаты А. С. Алексеева и С. В. Гольдина по применению в геофизике спектральной теории обратных задач и интегральной геометрии стали теоретической основой многих геофизических методов (обратные кинематические и динамические задачи сейсмики). Отметим, что признанные успехи нынешнего поколения сибирских геофизиков во многом определены их высокой математической подготовкой на геолого-геофизическом факультете НГУ. Автору статьи посчастливилось работать на кафедре геофизики в те годы, когда там был создан творческий союз преподавателей геофизиков (С. В. Гольдин, Л. А. Табаровский, М. И. Эпов, Ю. А. Дашевский и др.) и математиков (М. М. Лаврентьев, А. С. Алексеев, В. Г. Романов, Т. А. Годунова и др.). Обсуждения о том, какую математику и в каком объеме следует давать геофизикам, регулярно проводились на собраниях преподавателей, а споры часто напоминали дискуссии на научных конференциях. Сейчас сотрудники и выпускники этой кафедры руководят научными институтами (ИНГГ, ИВМиМГ, Югорский НИИИТ и др.), активно работают в крупных компаниях («Шлюмберже», «Дженерал Электрик», «Интел», «Бейкер Хьюз» и др.).
Список примеров можно было бы продолжить, но отметим лишь, что всемирно признанными основоположниками теории некорректных задач являются А. Н. Тихонов, В. К. Иванов и М. М. Лаврентьев. В работах этих ученых были заложены основы теории обратных и некорректных задач. Одной из главных стала идея о том, что при исследовании некорректных задач необходимо сузить класс возможных решений. При этом важнейшую роль играет выбор множества, в котором ищется приближенное решение (множество корректности). Чаще всего это множество выбирают компактным, что дает возможность обосновать сходимость регуляризирующих алгоритмов, помогает выбрать параметр регуляризации, оценить уклонение приближенного решения от точного решения некорректной задачи. Результаты математических исследований были применены для решения ряда конкретных обратных задач геофизики, радиолокации, астрономии, медицинской томографии. За выдающиеся научные результаты в этом направлении А. Н. Тихонов и В. К. Иванов были удостоены Ленинской премии, а позднее М. М. Лаврентьев, Ю. Е. Аниконов, В. Р. Кирейтов, В. Г. Романов и С. П. Шишатский стали лауреатами Государственной премии.
С конца двадцатого века и по настоящее время в математике и во всех естественных науках наблюдается небывалый рост интереса к обратным и некорректным задачам. За очень короткий исторический отрезок времени были учреждены четыре крупных международных журнала (главным редактором одного из них, а именно «Inverse and Ill-Posed Problems», является академик М. М. Лаврентьев). Активно работают международные организации «Inverse Problems International Association» и «Society on Inverse Problems in Science and Engineering». Ежегодно в мире проходят десятки крупных конференций по различным аспектам теории и приложений обратных задач (подробности о журналах, ассоциациях и конференциях можно найти на личной интернет-странице автора статьи на сайте Института математики СО РАН).
Где сейчас применяются обратные задачи?
Область применений обратных задач настолько широка, что при наборе слов «обратные задачи», например, в поисковой системе www.mail.ru даже формальный ответ впечатляет: найдено сайтов 128 507, документов 18 993 595. Ответ системы www.google.ru — за 0.23 секунды найдено 2 250 000 сайтов и ссылок. Поиск на английском языке в системе http://search.yahoo.com/ дает 14 600 000 ссылок на сочетание слов «inverse problems».
Приведем лишь некоторые результаты работы (сотрудников, аспирантов и стажеров) лаборатории волновых процессов Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН. За последние 30 лет исследованы обратные задачи, возникающие в сейсморазведке, электродинамике, медицине, химии, акустике, биологии. Соавторами научных работ были сотрудники многих институтов СО РАН (ИВМиМГ, ИНГГ, ИК, ИЦиГ, ИТ), Томографического центра СО РАН, компаний «Шлюмберже», «Бэйкер Хьюз», «Интел», а также исследователи из Австрии, Бразилии, Германии, Италии, Казахстана, Китая, США, Турции, Узбекистана, Швеции, Японии. Одной из основных целей исследования был вопрос единственности решения обратных задач. Особенно это важно для обратных задач геофизики, медицины, неразрушающего контроля. Теорема единственности решения в таких задачах позволяет ответить на вопрос, сколько и каких измерений достаточно провести для того, чтобы быть уверенным в том, что данным измерениям соответствует только один объект (например, месторождение полезных ископаемых в геофизике, или какие-либо изменения внутренних органов в медицине, или скрытое нарушение структуры в дефектоскопии).
Второй важнейший вопрос, который исследовался в лаборатории, это оценки устойчивости решения обратных задач по отношению к ошибкам измерений (без которых не обходится ни один эксперимент). Следующим этапом исследований стали численные методы решения обратных задач. Было показано, что оценки условной устойчивости решения обратных и некорректных задач позволяют оценить скорость сходимости численных методов решения обратных задач, а также найти новые правила выбора параметра регуляризации в некорректных задачах.
Не перечисляя все множество прикладных грантов и проектов, выполненных в лаборатории, отметим только, что результаты, изложенные в книге В. Г. Романова и С. И. Кабанихина «Обратные задачи геоэлектрики» (Москва, «Наука», 1991), были использованы при обосновании нового способа электроразведки (патент № 2062489). И это пример работы только одной лаборатории одного из институтов. Если же добавить в этот список все лаборатории институтов СО РАН, сотрудники которых занимаются исследованием тех или иных обратных задач, то список будет огромным.
Насколько полезна была
школа-конференция?
Подавляющее большинство участников школы-конференции высказались за то, что эту школу следует проводить ежегодно, что они узнали много нового и полезного. Приведем несколько положений из решения конференции.
«Ввиду большого научного и образовательного значения, проведение школы-конференции необходимо поставить на регулярную основу. Учитывая, что теория и численные методы решения обратных и некорректных задач применяются практически во всех (поддающихся математизации) науках, обращаемся к руководству Сибирского Отделения РАН, НГУ и институтов физико-математического профиля с просьбой организовать учебно-научный консультационный центр „Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач“. В задачи центра могли бы входить: консультации и помощь студентам, аспирантам, молодым ученым, всем исследователям, занимающимся изучением и применением теории обратных и некорректных задач; анализ и классификация методов исследования и численного решения практических обратных задач; разработка комплексов программ численного решения обратных и некорректных задач».
В заключение хотелось бы отметить, что в организации конференции принимали активное участие молодые ученые: зам. председателя оргкомитета
От имени всех участников и организаторов хотелось бы выразить искреннюю благодарность дирекции ИМ СО РАН, РФФИ, руководителям институтов и организаций, поддержавших конференцию, а также лекторам, которые щедро поделились с молодыми учеными своими знаниями и опытом.
стр. 8-9