4. Теоретические и экспериментальные исследования нелинейных процессов в механике сплошных сред
Программа 4.1. Построение и изучение новых математических моделей
в механике сплошных сред
(Координаторы акад. Л.В. Овсянников, чл.-корр. РАН В.М. Тешуков)
Развит метод построения решений нелинейных волновых
интегродифференциальных уравнений, основанный на функциональной зависимости между интегральными
инвариантами Римана. Этот метод применим к обобщенно-гиперболическим системам
с операторными коэффициентами, приводящимся к интегральным инвариантам Римана.
Предложенный подход использован для построения решений уравнений, описывающих в
приближении длинных волн двумерные движения завихренной жидкости в слое со
свободной границей и распространение волн концентрации в разреженной пузырьковой
жидкости с учетом коллективных эффектов (кинетическая модель Руссо — Смереки в случае
одной пространственной переменной). Для обеих интегродифференциальных моделей построены
и исследованы обширные классы решений, характеризующиеся линейной связью между
инвариантами Римана и описываемыми гиперболическими системами дифференциальных
уравнений, содержащими две произвольные постоянные. Получены и проанализированы
аналитические решения в классе простых волн. На рис. 1 и 2 приведено точное решение —
простая волна, распространяющаяся по сухому руслу и примыкающая к заданному сдвиговому
потоку. На графиках показано положение свободной границы, направление вектора скорости
и распределение горизонтальной компоненты скорости по глубине.
 Рис. 1. Свободная граница y = h(ξ) и вектор относительной скорости
(U(ξ,y),ν(ξ,y)) в автомодельной простой волне.
 Рис. 2. Профиль относительной горизонтальной компоненты скорости
U = u(ξ,y) – ξ для фиксированного значения ξ = x/t в автомодельной простой волне.
| 
