Оглавление
Введение
Глава I.
Непрерывные модели
§ 1.1.
Аксиоматика сплошной среды
1.1.1.
Аксиома пространства-времени
1.1.2.
Аксиома материального континуума
1.1.3.
Движение сплошной среды
1.1.4.
Аксиома движения
1.1.5.
Лагранжево и эйлерово описания сплошной среды
1.1.6.
Силовые и энергетические характеристики сплошной среды
1.1.7.
Аксиомы баланса
1.1.8.
Анализ сил
1.1.9
Аксиома внутренних поверхностных сил
1.1.10.
Аксиома сил и моментов
1.1.11.
Аксиома потока тепла
1.1.12.
Аксиома передачи энергии
1.1.13.
Интегральная модель сплошной среды
§ 1.2.
Дифференциальные законы сохранения
§ 1.2.
Дифференциальные законы сохранения
1.2.1.
Области определения и соглашения о гладкости
1.2.2.
Общая схема преобразования интегральных законов
1.2.3.
Лемма
1.2.4.
Полная производная
1.2.5.
Перестановка дифференцирования и интегрирования
1.2.6.
Уравнение неразрывности
1.2.7.
Основная теорема механики сплошной среды
1.2.8.
Закон сохранения импульса
1.2.9.
Закон сохранения момента импульса
1.2.10.
Теорема о симметричности тензора напряжений
1.2.11.
Теорема о существовании вектора потока тепла
1.2.12.
Тензор скоростей деформации
1.2.13.
Уравнение притока тепла
1.2.14.
Дифференциальная модель
1.2.15.
Замыкание математической модели сплошной среды
§ 1.3.
Термодинамика сплошной среды
1.3.1.
Термодинамические эффекты в сплошных средах
1.3.2.
Параметры состояния
1.3.3.
Количество теплоты
1.3.4.
Абсолютная температура и энтропия
1.3.5.
Первое начало термодинамики
1.3.6.
Второе начало термодинамики
1.3.7.
Аксиома термодинамики
1.3.8.
Термодинамические процессы
1.3.9.
Аксиома локального равновесия
1.3.10.
Неравенство
Клаузиуса —
Дюгема
1.3.11.
Аксиома Фурье
§ 1.4.
Определяющие уравнения
1.4.1.
Деформация сплошной среды
1.4.2.
Тензор деформации Лагранжа
1.4.3.
Тензор деформации Эйлера
1.4.4.
Тензор скоростей деформации
1.4.5.
Определяющие уравнения (уравнения состояния)
1.4.6.
Принцип причинности
1.4.7.
Принцип пространственной локализации
1.4.8.
Системы отсчета
1.4.9.
Принцип независимости от системы отсчета
1.4.10.
Теорема об индифферентности основных тензоров
1.4.11.
Пример: жидкости и газы
1.4.12.
Пример: упругие тела
1.4.13.
Пример: определяющее уравнения для вектора потока тепла
1.4.14.
Изотропные функции
1.4.15.
Лемма о представлении симметричных функций на
R
2
1.4.16.
Лемма о представлении симметричных функций на
R
3
1.4.17.
Теорема о представлении изотропных тензорных функций
1.4.18.
Теорема о представлении изотропных скалярных функций
1.4.19.
Теорема о представлении изотропных векторных функций
1.4.20.
Еще раз о законе Фурье
§ 1.5.
Модели жидкостей
1.5.1.
Основное уравнение состояния
1.5.2.
Однородность уравнения состояния
1.5.3.
Аксиома идеальности
1.5.4.
Представление уравнения состояния
1.5.5.
Аксиома термодинамического состояния
1.5.6.
Первая замкнутая модель жидкости
1.5.7.
Аксиома линейности
1.5.8.
Классическая модель жидкости
1.5.9.
Несжимаемая жидкость
1.5.10.
Идеальная жидкость
§ 1.6.
Простейшие краевые задачи
1.6.1.
О классе уравнений
1.6.2.
Краевые задачи
1.6.3.
Уравнение теплопроводности
1.6.4.
Краевые задачи для уравнения теплопроводности
1.6.5.
Стационарное уравнение теплопроводности
1.6.6.
Краевые задачи для стационарного уравнения теплопроводности0
1.6.7.
Замечание о размерности
Глава II.
Дискретные модели
§ 2.1.
Сеточные функции
2.1.1.
Сетки на отрезке
2.1.2.
Сетки на плоскости (
x
,
t
)
2.1.3.
Сетки на плоскости
x
2.1.4.
Замечание о граничных узлах
2.1.5.
Сетки
2.1.6.
Сеточные функции
2.1.7.
Нормы в пространстве функций непрерывного аргумента
2.1.8.
Апппроксимация функций непрерывного аргумента сеточными функциями
2.1.9.
"Подъем" в пространство
F
(
W
)
2.1.10.
"Спуск" в пространство
F
(
w
h
)
2.1.11.
Общие договоренности
2.1.12.
Теорема о том, что
"спуск" =
"подъем"
–1
§ 2.2.
Аппроксимации производных
2.2.1.
Объект аппроксимации
2.2.2.
Аппроксимация первой производной
2.2.3.
Теорема о порядке аппроксимации первой производной
2.2.4.
Аппроксимация второй производной
2.2.5.
Теорема о порядке аппроксимации второй производной
2.2.6.
Аппроксимации частных производных (оператор Лапласа)
2.2.7.
Теорема о порядке аппроксимации оператора Лапласа
2.2.8.
Аппроксимация параболического дифференциального оператора
∂/∂
t
–
∂
2
/∂
x
2
§ 2.3.
Аппроксимация граничных условий
2.3.1.
Замечание об областях определения и значений операторов
L
h
2.3.2.
Первая краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
2.3.3.
Задача Неймана для уравнения Пуассона
2.3.4.
Замечание об угловых точках
2.3.5.
О порядке аппроксимации краевых условий
§ 2.4.
Сходимость, аппроксимация и устойчивость разностных схем
2.4.1.
Разностные схемы
2.4.2.
Сходимость разностных схем
2.4.3.
Аппроксимация разностной схемы
2.4.4.
Аппроксимация схемы на решении
2.4.5.
Пример аппроксимирующей несходящейся схемы
2.4.6.
Устойчивость разностных схем
2.4.7.
Теорема Лакса
2.4.8.
Замечания к понятию устойчивости разностных схем
§ 2.5.
Исследование устойчивости разностных схем (готовится)
§ 2.6.
Консервативные разностные схемы (готовится)
Глава 0.
Математические отступления
§ 0.1.
Векторные пространства
0.1.1.
Векторные пространства
0.1.2.
Скалярные произведения и нормы
0.1.3.
Базисы и кобазисы
0.1.4.
Немые индексы
0.1.5.
Ковариантные и контравариантные компоненты
0.1.6.
Векторное произведение
§ 0.2.
Линейные отображения
0.2.1.
Пространство линейных отображений
0.2.2.
Изометрия нормированных пространств
0.2.3.
Матрица линейного отображения
0.2.4.
След матрицы и линейного отображения
0.2.5.
Инварианты матриц и линейных отображений
0.2.6.
Сопряженные, самосопряженные (симметричные), антисимметричеые и ортогональные отображения
0.2.7.
Свертка отображений
§ 0.3.
Тензоры
0.3.1.
Определения
0.3.2.
Примеры
0.3.3.
Изоморфизм
T
2
(
R
m
)
~
L
(
R
m
)
§ 0.4.
Скалярные, векторные и тензорные поля
0.4.1.
Непрерывные поля
0.4.2.
Дифференцируемые поля
0.4.3.
Производные по направлению и частные производные. Матрица Якоби
0.4.4.
Дивергенция векторного поля
0.4.5.
Дивергенция тензорного поля
0.4.6.
Формулы
Гаусса –
Остроградского
0.4.7.
Оператор Лапласа
§ 0.5.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
0.5.1.
Задача Коши
0.5.2.
Уравнение в вариациях
0.5.3.
Формула Эйлера
Литература
Предметный указатель
