|
§ 3.1. Основные понятия теории интегральных уравнений |
|
Таким образом, галлам, хотя число их и уменьшилось, удалось перед самым рассветом войти в городские ворота...
Аммиан Марцеллин. Деяния
В этом параграфе по необходимости кратко описываются основные понятия теории интегральных уравнений.
3.1.1. Классификация интегральных уравнений.
Термин "интегральные уравнения" расплывчат. Обычно под интегральными уравнениями понимают уравнения, в которых неизвестная функция независимого (скалярного или векторного) аргумента встречается под знаком интеграла. Различают линейные и нелинейные интегральные уравнения, в зависимости от того зависит ли уравнение от неизвестной функции линейным или нелинейным образом. Многие линейные интегральные уравнения (в "одномерном" случае) могут быть записаны в виде
| a(t)x(t) - | т |
b
a | K(t, s)x(s) ds = f(t), t О [a, b], |
|
(1) |
где x: [a, b] ® R — искомая функция, a, f: [a, b] ® R и K: [a, b]×[a, b] ® R — заданные функции. Функцию K обычно называют ядром интегрального уравнения.
Уравнение (1), когда K(t, s) = 0 при a Ј t Ј s Ј b, называют уравнением Вольтерры. В противном случае его называют уравнением Фредгольма. Уравнение Вольтерры, очевидно, оно может быть
переписано в виде
| a(t)x(t) - | т | b
a | K(t, s)x(s) ds = f(t), t О [a, b]. |
|
Наиболее распространенными представителями нелинейных интегральных уравнений являются уравнения Урысона
| a(t)x(t) - | т | b
a | K[t, s, x(s)] ds = f(t), t О [a, b] |
|
и уравнения Гаммерштейна
| a(t)x(t) - | т | b
a | K(t, s)F[x(s)] ds=f(t), t О [a, b]. |
|
3.1.2. Уравнения I и II рода.
Если a(t) № 0 при всех t О [a, b], то уравнение (1), очевидно, может быть переписано в виде
| x(t) - |
т | b
a | K(t, s)x(s) ds = f(t), t О [a, b]. |
| (2) |
Уравнения такого вида называют уравнениями II рода, отличая их от уравнений I рода
| т | b
a | K(t, s)x(s) ds = f(t), t О [a, b]. |
| (3) |
Если в некотором пространстве функций на отрезке [a, b] пределить интегральный оператор
| (Ix)(t) = | т | b
a | K(t, s)x(s) ds, t О [a, b], |
|
то уравнения (2) и (3), очевидно, переписываются в виде
и
|
Прежде, чем объяснить разницу между уравнениями I и II родов, введем понятие корректности уравнения. Огрубляя ситуацию, говорят, что уравнение (4) или (5) корректно, если при любых f оно
однозначно разрешимо и решение x непрерывно зависит от f. Более точно, говорят, что (линейное) уравнение корректно в паре (E1, E2) банаховых пространств функций на отрезке [a, b], если для любой f О E2 уравнение имеет единственное решение x О E1 и, кроме того, найдется такая константа C, что
||x||E1 Ј ||f ||E2.
|
Разница между уравнениями I и II родов особенно ясно проявляется после записи интегральных уравнений в ператорном виде. Суть здесь в следующем. Интегральные операторы в большинстве своем оказываются вполне непрерывными операторами.
Для корректной разрешимости уравнения II рода, т. е. уравнения
(4) при любой функции f необходимо и достаточно
обратимости оператора I - I и ограниченности (I - I)-1,
что в случае вполне непрерывного оператора I есть ситуация общего положения (см. утверждения об альтернативе Фредгольма в курсе функционального анализа). Для разрешимости уравнения I рода необходима обратимость оператора I. В случае же вполне непрерывного оператора I-1 если и существует, необходимо является неограниченным (см. курс функционального анализа).
Уравнения I рода представляют собой существенно более сложный объект исследования. Поэтому во втором параграфе мы ограничимся лишь уравнениями II рода.
3.1.3. Интегральные уравнения с вырожденным ядром и уравнения типа свертки.
Выделим еще два класса линейных интегральных уравнений, часто встречающихся в математическом обиходе. Первый из них состоит из так называемых интегральных уравнений с вырожденным ядром. К ним относят интегральные уравнения, ядро которых представимо в виде
| K(t, s) = |
n
е
i = 0
|
xi(t)hi(s). |
|
(6) |
Интегральные уравнения (скажем, Фредгольма II рода) с вырожденным ядром легко сводятся к системе алгебраических уравнений. Используя (6), уравнение (2) можно переписать в виде
| x(t) = | n
е
i = 0
| cixi(t) + f(t), |
| (5) |
где
Умножение (7) на hj и интегрирование по t от a до b приводит к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных cj:
| cj = | n
е
i = 0
| gijci + fj, j = 1, ..., n, |
|
в которой
| gij = | т | b
a | т | b
a | xj(s)hi(s) ds, |
|
Уравнение Вольтерры типа свертки
выделяется специальным видом ядра K(t, s) = k(t - s):
| x(t) = | т | t
0 | k(t - s)x(s) ds + f(t). |
|
Название наследуется от интегрального оператора свертки
| (k*x)(t) = | т | t
0 |
k(t - s)x(s) ds, |
|
играющего роль умножения в банаховых алгебрах функций. Уравнение типа свертки весьма широко распространено в приложениях.
Уравнение Фредгольма типа свертки выглядит так:
| x(t) = | т | Ґ
-Ґ | k(t - s)x(s) ds + f(t). |
|