§ 2.4. Другие теоремы существования и единственности

В теории дифференциальных уравнений известно много разных утверждений о существовании и единственности решения задачи Коши, а также о продолжимости решений на наперед заданный промежуток и о структуре множества всех ее решений ("интегральной воронки") в случае неединственности. В этом параграфе мы приведем пять теорем (одну без доказательства), дополняющих и развивающих теорему Коши — Пикара в разных направлениях.

2.4.1. Обобщенная теорема Коши — Пикара. Пусть выполнены условия теоремы Коши — Пикара со следующими двумя изменениями:

а) вместо отрезка [a, b] — произвольный промежуток I;

б) в условии Липшица вместо константы L — непрерывная функция M(t).

Утверждается, что:

1) задача Коши (НС), (НУ) имеет на I единственное решение φ;

2) последовательные приближения сходятся на I к φ, причем

||φk(t) – φ(t)|| ≤ L2(t) ck(t) k! ,

(1)

где

L2(t) = L1(t)ec(t), L1(t) = ||φ0 – φ1||[t0, t], c(t) = L(t)|t – t0|,

(2)

L(t) = ||M||[t0, t],  [t0, t] = { [t0, t] при t ≥ t0, [t, t0] при t < t0,

(3)

||x||[t0, t] = max{||x(s)||: s ∈ [t0, t]}.

(4)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Если промежуток I заменить на любой отрезок [t₀, t] ⊂ I, то будут выполнены все условия теоремы Коши — Пикара с константой в условии Липшица, равной L(t) — см. (3), поскольку, очевидно, L(t) справа от t₀ неубывает, а слева — невозрастает. Рассмотрим на всем промежутке I произвольное непрерывное начальное приближение φ₀ и по известной рекуррентной формуле построим соответствующие последовательные приближения φ_k. Тогда последовательность {φ_k(t)} сходится в любой точке t ∈ I, т. к. она сходится на любом отрезке [t₀, t] ⊂ I. Обозначим ее предел через φ(t). Функция φ(t) является решением задачи (НС), (НУ) на I, т. к. это справедливо для любого отрезка [t₀, t] ⊂ I. Решение φ единственно на I, т. к. оно единственно на любом [t₀, t] ⊂ I. Наконец, для s ∈ [t₀, t] ⊂ I и k ≥ 0 справедливо неравенство

||φk(s) – φ(s)|| ≤ L2(t) ck(t) k!

(см. (2) – (4)). Положив s = t, получаем (1).

2.4.2. Локальная теорема Коши — Пикара. Заменим в теореме Коши — Пикара из условие (1) на

f: [t0 – h, t0 + h]×B(x0, r) → Rn,

(1')

где h, r — некоторые положительные числа, B(x₀, r) = {x ∈ Rⁿ: ||x – x₀|| ≤ r}. Соответственно условие Липшица будем предполагать выполненным при t ∈ [t₀ – h, t₀ + h], x, y ∈ B(x₀, r).

Утверждается, что:

1) задача Коши имеет единственное решение φ на отрезке [t₀ – h₁, t₀ + h₁], где

h1 = min { h, r f0 } ,   f0 = max t ∈ [t0 – h, t0 + h], x ∈ B(x0, r) ||f(t, x)||;

(5)

2) на этом отрезке φ есть предел последовательных приближений φ_k, отвечающих любому непрерывному начальному приближению

φ0: [t0 – h1, t0 + h1] → B(x0, r),

(6)

причем справедлива оценка погрешности вида (8) из п. 2.3.3.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Покажем индукцией по k, что значения φ_k(t) при t ∈ [t₀ – h₁, t₀ + h₁] лежат в B(x₀, r). Действительно, для k = 0 это верно по условию (6), а переход от k к k + 1 вытекает из неравенств

||φk+1 – x0|| ≤ | ∫ t t0 ||f[s, φk(s)] || ds | ≤ f0h1 ≤ r.

Итак, все последовательные приближения определены на отрезке [t₀ – h₁, t₀ + h₁], поэтому справедливы все рассуждения из доказательства теоремы Коши — Пикара.

2.4.3. Формулировка теоремы Пеано. Пусть выполнено условие (1') и функция f(t, x) непрерывна по совокупности переменных. Тогда задача (НС), (НУ) имеет на отрезке [t₀ – h₁, t₀ + h₁] (см. (5)) хотя бы одно решение.

Доказательство теоремы Пеано можно найти во многих учебниках, а также в очерке О1 во второй части книги. Отметим, что в условиях теоремы Пеано решение может быть не единственным (см. пример в п. 1.2.8) и последовательные приближения могут не сходиться не сходиться).

2.4.4. Теорема Коши — Пикара для уравнения высшего порядка. Рассмотрим задачу Коши

x(m) = F(t, J(m–1)x),

(НСm)

J(m–1)x(t0) = y0 ∈ R|m|.

(НУm)

Пусть выполнены условия:

F: [a, b] × R|m| → Rn;

F(t, y) непрерывно по t при любом фиксированном y;

F(t, y) удовлетворяет условию Липшица по y:

||F(t, y) – F(t, y)|| ≤ L·||y – y||    (t ∈ [a, b]; y, y ∈ R|m|).

Утверждается, что тогда задача (НСm), (НУm) имеет на отрезке [a, b] единственное решение.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Замена

J(m–1)x = y

(7)

сводит (НСm), (НУm) к задаче Коши для нормальной системы

y′ = f(t, y),

(8)

y(t0) = y0

(9)

(см. п. 2.1.1). Мы будем считать, что координаты функции f пронумерованы так же, как координаты y. Тогда

fik(t, y) = { yik+1, если k ≤ mi – 2, Fi(t, y), если k = mi – 1.

Нетрудно видеть, что условия  теоремы Коши — Пикара для (8), (9) выполнены.

Заметим, что решение задачи (НСm), (НУm) можно получить методом последовательных приближений для (8), (9) с последующим возвратом к x по (7).

2.4.5. Комплексификация и овеществление. При рассмотрении обыкновенных дифференциальных уравнений с комплекснозначными неизвестными функциями бывает удобно пользоваться следующими двумя взаимно однозначными отображениями комплексификацией c и овеществлением r:

c: R2n → Cn, r = c–1: Cn → R2n;

c(x1, x2, ..., x2n–1, x2n) = (x1 + ix2, ..., x2n–1 + ix2n);

r(z1, ..., zn) = (Re z1, Im z1, ..., Re zn, Im zn)

(здесь i — мнимая единица). Эти операторы аддитивны, а если Cⁿ рассматривать над полем R (а не C), то и однородны, т. е. линейны.

С их помощью можно записать определения производной и интеграла от комплекснозначной функции z: J ⊂ R → Cⁿ в виде

z′(t) = c ( d dt r z(t) ) ,    ∫ t t0 z(s) ds = c ( ∫ t t0 rz(s) ds ) .

Нетрудно видеть, что евклидова норма || · ||₂ при комплексификации c и овеществлении r сохраняется:

||cx||2 = ||x||2, ||rz||2 = ||z||2.

2.4.6. Теорема Коши — Пикара для комплексных уравнений. Теорема Коши — Пикара остается верной, если всюду в ее формулировке заменить Rⁿ на Cⁿ.

Для  д о к а з а т е л ь с т в а  достаточно заметить, что комплексная задача Коши

z′ = f(t, z),    z(t0) = z0.

заменой переменных x = rz сводится к вещественной задаче Коши

x′ = rf(t, cx),    x(0) = rz0.

В заключение параграфа отметим, что для уравнения высшего порядка (НСm) и комплексного уравнения теорема Коши — Пикара справедлива также в обобщенном и локальном вариантах типа пп. 2.4.1 и 2.4.2; верны также и аналоги теоремы Пеано.

2.4.7. Контрольные вопросы

2.4.7.1. Докажите, что решение задачи Коши

x′ = max{t, x}, x(0) = 0

имеет единственное решение на любом промежутке, содержащем точку 0.

2.4.7.2. Докажите, что в условиях локальной теоремы Коши — Пикара 2.4.2 график решения лежит в конусе {(t, x) ∈ R×Rⁿ: ||x – x₀|| ≤ f₀|t – t₀|}.

2.4.7.3. Для задачи Коши

x′′ + tx = 0,    x(0) = 1,    x′(0) = 0

постройте три последовательных приближения φ₀, φ₁ и φ₂ и оцените погрешность φ₂ на отрезке [–1, 1].

2.4.7.4. Какова константа в условии Липшица для функции rf(t, cx), если функция f(t, x) удовлетворяет условию Липшица по x с константой L?

2.4.7.5. Почему задача Коши (НС), (НУ) с непрерывно дифференцируемой f(t, x) не может иметь на любом промежутке (содержащем точку t₀) более одного одного решения?

2.4.8. Задачи

2.4.8.1. На каком промежутке можно гарантировать существование (и единственность) решения задачи Коши

x′1 = x22,    x′2 = x12,

x1(0) = 1,  x2(0) = 0?

2.4.8.2. Докажите, что задача Коши

имеет на интервале ( – 1,1) единственное решение.

2.4.8.3. Покажите, что задача Коши

x′′ + x + tsin x = 0,    x(0) = 0,    x(0) = 1

имеет на оси R единственное решение.

2.4.8.4. Докажите, что задача Коши

x′ = –|x + t|x2,    x(0) = 1

имеет единственное решение на [0, +∞).

2.4.8.5. Исследуйте поведение последовательных приближений, начинающихся с φ(t) ≡ 1, для задачи Коши

x′ = x2,    x(0) = 1.

2.4.8.6. Аналогичный вопрос для задачи Коши

x′ = –x2,     x(0) = 1.

В чем причина различного поведения последовательных приближений в этой и предыдущей задачах?

2.4.8.7. Пусть функция f: R → R непрерывно дифференцируема и f(x₁) = f(x₂) = 0 при некоторых x₁ < x₂. Докажите, что задача Коши

x′ = f(x),    x(0) = x0

имеет единственное определенное на всей оси решение, если x₀ ∈ [x₁, x₂].

2.4.8.8. Пусть в задаче Коши (НС), (НУ) f(t, x) непрерывно дифференцируемо. Докажите, что при некотором h₁ > 0 она имеет единственное решение на отрезке [t₀ – h₁, t₀ + h₁].

2.4.8.9. На каком отрезке гарантировано существование и единственность решения комплексной задачи Коши

z′ = |z|z,    z(0) = 1 + i?

2.4.8.10. Покажите, что задача Коши

x′ = x4 + t4,    x(0) = 0

имеет на отрезке [–¹/₂, ¹/₂] единственное решение.

File based on translation from T_EX by T_TH, version 2.32.
Created 31 4 Jan 2002, 19:05.
Last modified 8 Apr 2002.