![]() | § О30. Теория возмущений | ![]() |
О нем не только что рассказ написать, о нем целые тома сочинений написать можно было бы.
Мих. Зощенко. Аполлон и Тамара
Термин "теория возмущений" в теории обыкновенных дифференциальных
уравнений используют в двух смыслах: широком — для обозначения
теории, занимающейся общими вопросами
зависимости решений от параметров, и в
Общая постановка задачи такова. Рассмотрим дифференциальное уравнение
x′ = f(t, x, ε) | (1) |
с малым параметром ε. Для простоты мы будем рассматривать только задачу Коши для этого уравнения:
x(0) = x0. | (2) |
Пусть задача
φ0(t) + εφ1(t) + ε2φ2(t) + ..., | (3) |
а частичные суммы этого ряда аппроксимируют решение
ψk(t, ε) = φ0(t) + εφ1(t) + ... + εkφk(t) | (4) |
называют формальным асимптотическим решением
задачи
ψ′k(t, ε) – f[t, ψk(t, ε), ε] = O(εk+1) | (5) |
и ψk(0, ε) = x0. Если же, дополнительно,
φ(t, ε) – ψk(t, ε) ≡ rk+1(t, ε) = O(εk+1), | (6) |
то говорят, что функция ψk(t,
ε) является асимптотическим
решением задачи
Задача О30.1. Покажите, что решение задачи Коши
x′ = –(ε√ε)x, x(0) = 1 |
не может быть представлено в виде сходящегося ряда (3).
Основная задача теории возмущений — это
задача о возможности построения асимптотики решений
обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром. Дифференциальные
уравнения, которым удовлетворяют члены
Вопрос о существовании асимптотических разложений в случае гладкой зависимости f от ε решается легко. Например, из теоремы о липшицевости оператора сдвига вытекает, что если f удовлетворяет условию Липшица по x и ε, то
φ(t, ε) = φ0(t) + r1(t, ε), |
где φ0 — решение задачи
||r1(t, ε)|| ≤ Cε. |
Таким образом, в этом случае φ0
является асимптотикой нулевого порядка решения задачи
ψ1(t, ε) = φ0(t) + εφ1(t). |
В ней φ0 та же самая, что и выше, а φ1 — решение соответствующего уравнения в вариациях.
Задача О30.2. Докажите, что ||φ(t, ε) – ψ1(t, ε)|| ≤ Cε2.
Точно так же теорема о существовании
старших производных решения по параметру позволяет выписать и обосновать
асимптотики старших порядков,
Задача О30.3. Выпишите эти уравнения и начальные
условия в случае задачи Коши
Задача О30.4. Выпишите асимптотику первого порядка для следующей задачи Коши для уравнения Риккати с малым параметром
x′ + a(t) + εb(t)x2 = c(t), x(0) = 0. |
Ситуация существенно сложнее в случае так называемых сингулярно возмущенных уравнений (правильнее говорить сингулярно возмущенных задач). Эти термины охватывают различные классы уравнений с параметрами, в которых решения зависят от параметра не регулярным образом (см., напр., очерки Дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной и Принцип усреднения). Простейшим примером такого уравнения является уравнение
εx′ = – x |
с малым параметром ε. Его общее решение
Ce – t/ε
не аналитически (сингулярно) зависит
от ε в точке
Ниже мы продемонстрируем лишь некоторые особенности асимптотик сингулярно возмущенных задач на примере задачи Коши
εx′ = –x – et, | (7) |
x(0) = 1, | (8) |
предполагая параметр ε
малым и положительным. Решение задачи
| (9) |
Попытаемся представить решение (9) в виде ряда (3). Подставляя (3) в (7) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε, получаем
φ0(t) = –et, φ1(t) = et, φ2(t) = –et, φ3(t) = et, |
Таким образом, ряд (5) сходится к функции
Задача О30.5. Проверьте последнее утверждение.
Для того, чтобы построить равномерное на
|
(10) |
Подставляя, как и ранее, (10) в уравнение (7) и начальное условие (8) и приравнивая члены при одинаковых степенях ε (разумеется, отдельно рассматривая функции, зависящие от независимого аргумента t и независимого в данном контексте аргумента τ), получим следующее семейство уравнений
|
Задача О30.6. Докажите, что
Поэтому
|
= – et + εet – ε2et + ... + 2et/ε – εe–t/ε + ε2et/ε – ... = |
= – et(1 – ε + ε2 – ...) + e – t/ε[2 – ε(1 – ε + ε2 – ...)] = |
|
Таким образом, мы построили разложение вида (10) для решения задачи (7) – (9).
Задача О30.7. Докажите, что конечные суммы
построенного разложения аппроксимируют решение задачи
Члены π0,
π1, ...
построенной асимптотики называются погранслойными
членами. Они характеризуются тем, что быстро (в данном случае с
экспоненциальной скоростью) убывают вдали от начальной точки и
не малы вблизи нее. Члены же
У читателя не должно складываться впечатления простоты асимптотической теории сингулярно возмущенных задач. Наоборот, в настоящее время эта теория в большой мере искусство и общие подходы и методы только начинают вырисовываться. Эффективность асимптотических методов в прикладных задачах вызывает большой интерес к ним и обуславливает обилие литературы.
Литературные указания. Несмотря на большую предысторию
(асимптотические разложения начали получать во времена Ньютона),
асимптотическая теория возмущений в учебниках излагается редко
(см., напр., [
Задачи. О30.8. Найдите первые три члена
асимптотики при
x′′ + λ2x = εx3, x(0) = x0, x′(0) = x1, |
предполагая, что λ отлично от нуля.
О30.9. Найдите первые два члена
асимптотики при
|
О30.10. Найдите первые три члена асимптотического разложения вида (3) для 2π-периодического решения уравнения
x′′ + 2x = εx2 + sin t. |
x′′ + λ2x = εf(t, x, x′) + φ(t) | (11) |
функции f и φ являются
T-периодическим по t непрерывными функциями и, кроме
того, f аналитична по второму и третьему аргументам, а
О30.12. Предполагая возможным разложение в ряды Фурье всех возникающих в предыдущей задаче T-периодических функций, докажите разрешимость задачи о нахождении асимптотики T-периодического решения уравнения (11).
О30.13. Найдите первые члены асимптотики π-периодического решения уравнения
x′′ + sin x = ε·sin 2t. |
О30.14. Пусть выполнены условия задач
О30.11 и О30.12 и,
кроме того, функция f не зависит от t, а
О30.15. Найдите первое приближение периодического решения уравнения Ван дер Поля.
О30.16. Попытайтесь выписать асимптотику вида (10) для краевой задачи
εx′′ + a0x′ + a1x = 0, x(0) = x0, x(1) = x1. |
Исследуйте ее поведение при
О30.17. Найдите асимптотику вида (10) для задачи Коши
εx′ = a(t)x + b(t), x(0) = x0. |
File based on translation from
TEX by TTH,
version 2.32.
Created 24 Mar 2000, 14:37.
Last modified 2 May 2002.