НОВЫЕ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ
К ЗАДАЧАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Координаторы: член-корр. РАН Фомин В. М., д-р физ.-мат. наук Короткий А. И.

Исполнители: ИТПМ СО РАН, ИММ УрО РАН

Доказана возможность применения метода специальных рядов с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами для решения начально-краевых задач с заданными краевыми условиями для некоторых классов нелинейных эволюционных уравнений в частных производных. Для некоторых классов нелинейных задач доказаны теоремы существования решений. В частности, с помощью метода специальных рядов были построены новые точные решения (в виде отрезков ряда) для уравнений, описывающих распространение длинных волн.

Проведены исследования в области обоснования метода Фурье для решения нелинейных уравнений с малым параметром. Описан новый класс нелинейных уравнений, для которого удалось обосновать применимость метода Фурье.

Построено и обосновано асимптотическое разложение решения первой краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка с малым параметром при одной из старших производных в случае, когда предельное уравнение является уравнением параболического типа и граница области является кусочно-гладкой. Для обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка с точкой поворота и малым параметром при старшей производной проведено обоснование асимптотики по малому параметру фундаментального решения.

Построены обобщенные волны Римана для уравнений одномерных неизоэнтропических течений газа.

Найдены все двойные волны для уравнений жесткопластического тела.

Проведена полная групповая классификация уравнений двумерных стационарных течений вязкого теплопроводного газа относительно пяти функций: двух коэффициентов вязкости, коэффициента теплопроводности и двух уравнений состояния.

Для осесимметричных движений вязкого теплопроводного совершенного газа с политропным уравнением состояния выписаны представления всех частично инвариантных решений ранга 0 дефекта 1.

Разработаны и реализованы адаптивный вариант метода коллокации и наименьших квадратов для решения уравнений Навье—Стокса и метод коллокаций и наименьших квадратов решения задачи теплопроводности в составной области с внутренними условиями на границе между подобластями и нелинейными условиями на подвижной внешней границе. Последним методом решена одномерная задача о сублимации бета-декитонатов металлов.

Проведено усовершенствование метода дискретных вихрей. С его помощью проведен численный расчет плоской струи в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Исследованы различные характеристики струи: ширина, осредненная скорость, ламинарный профиль. Проанализировано развитие возмущений в области ламинарно-турбулентного перехода.

1. Короткий А. И., Цепелев И. А., Исмаил-заде А. Т., Наймарк Б. М. Трехмерное моделирование обратной задачи неустойчивости Рэлея—Тейлора// Изв. УрГУ. Серия. математика и механика. (Вып. 4). 2002. № 22. С. 96—104.
2. Короткий А. И., Цепелев И. А. Трехмерное моделирование прямых и обратных задач Рэлея—Бенара и Рэлея—Тейлора// Вопросы атомной науки и техники. Сер. математическое моделирование физических процессов. 2002. № 3. С. 76—86.
3. Леликова Е. Ф., Рубина Л. И., Ульянов О. Н., Чащин М. А. Параллельные вычислительные технологии в задаче о переносе радиационного излучения// Там же. С. 79—89.
4. Ваганова Н. А., Филимонов М. Ю. Применение метода Фурье и специальных рядов для представления решений нелинейных волновых уравнений// Динамика сплошной среды. Новосибирск. 2002. Вып. 120. C. 79—83.
5. Добриков Д. М. Регулярные частично инвариантные решения ранга 0 дефекта 1 уравнений осесимметричных движений вязкого теплопроводного совершенного газа// ПМТФ. 2002. Т. 43, № 6. С. 14—22.
6. Meleshko S. V. Group classification of two-dimensional steady viscous gas dynamics equations with arbitrary state equations// J. Phys. A. 2002. V. 35. P. 3515—1533.

Оглавление

Далее