XIV Международная конференция по интервальной математике
ИНТЕРВАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ТРУБОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
П.С.Панков, Г.М.Кененбаева
Институт математики Национальной Академии наук Кыргызской республики,
г.Бишкек, Кыргызстан
Интервальные методы решения начальных задач для обыкновенных дифферен-циальных уравнений (ОДУ) и систем ОДУ можно условно разделить на методы, в которых первичным является "интервальное расширение" решения (см. например [1, пп. 6.1, 6.2]), и на методы, в которых первичными являются гарантированные границы для ре-шения, начиная с "вилки Чаплыгина" (см. например [1, пп. 6.3.3, 6.3.4], [2]). Здесь нами предлагается общий подход (второго типа), который, как нам представляется, дает воз-можность в полной мере учитывать специфику правых частей и всю известную инфор-мацию о решении, в том числе полученную апостериорно.
Рассмотрим (векторно-матричное) уравнение
y’(t) = f(t,y(t)), t0 Ј t Ј tw (1)
с начальным условием
y(t0 ) О У0 , (2)
где
t0 , tw - заданные числа, f: [ t0 , tw ]ґ Rn® Rn - заданная функция, возможно не всюду определенная, но гладкая везде, где она определена, У0 М Rn - заданное ограниченное множество, n - натуральное число.Обозначим через
S n- 1 поверхность единичного шара в Rn (S0 состоит из двух то-чек ± 1). Разобьем интервал [ t0 , tw ] на m интервалов (малой) ширины h каждый:[ t0 , t1],… [ tm- 1 , tm].
На каждом из этих интервалов введем непрерывную функцию -"границу трубки"
Hk :[ tk- 1 , tk]ґ S n- 1 ® Rn , k=1..m,
удовлетворяющую основному условию: из
a 1 № a 2 следует Hk(a 1,t) № Hk(a 2,t). Для удоб-ства формулировок (формализации понятия "внутри") будем считать, что множество{H k (t, a ): a О S n- 1 } образует границу выпуклого множества, которое будем обозначать P k (t).
Очевидно следующее. Если
1) У0 находится внутри H1(t0), H k (t k) находится внутри H k+1 (t k);
2) для любых k, tО [ tk- 1 , tk) и a О S n- 1 вектор {1, f(t, H k (t, a ))} в пространстве
[ tk- 1 , tk]ґ Rn, проведенный из точки {t, H k (t, a )}, направлен вовнутрь трубки H k ;
3) в множестве
{{t,P k (t)}: tО [ tk- 1 , tk]}, k=1..m функция f(t,y) определена, то уравнение (1) с любым из начальных условий (2) имеет единственное решение y0(t), удовлетворяющее соотношению:если
tО [tk- 1 , tk], то y0(t) О P k (t).В частности, при n=1 функция H k (t, a ) выражается в виде двух скалярных функ-ций H k- (t) < H k+ (t), P k (t)=[H k- (t), H k+ (t)], условие 2) для дифференцируемых функ-ций H k± (t) записывается в виде двух неравенств
H' k- (t) - f(t, H k- (t)) <0, H' k+ (t) - f(t, H k+ (t)) >0 (tО [tk- 1 , tk]). (3)
При
n=2 график функции H k (t, a ) (0 Ј a < 2 p ) на плоскости R2 должен пред-ставлять собой замкнутый контур (будем считать, что обход производится против ча-совой стрелки). Условие 2) для дифференцируемой функции Hk записывается в виде: вектор "продольной касательной" {1, ¶ Hk (t, a )/¶ tt}, вектор "поперечной касательной" {0, ¶ Hk (t, a )/¶ a } и вектор поля направлений для уравнения (1) {1, f(t, Hk (t, a ))} в Rґ R2 образуют тройку правой ориентации, то есть определитель, составленный из их коор-динат, положителен.Подчеркнем, что в данном подходе разделяются построение сплайн-функций
H k (t, a ) (что можно делать любым способом, с использованием всей информации о ре-шении) и проверка строгих неравенств вида (3). Если функция f(t, x) задана аналити-чески, то сначала можно применить аналитические преобразования (вручную или на компьютере) для упрощения записи неравенства и возможно более полного исполь-зования свойства субдистрибутивности при этой проверке.Модификация данного подхода, с учетом специфики дифференциальных урав-нений с малым параметром при производной, была применена в [3].
ЛИТЕРАТУРА