XIV Международная конференция по интервальной математике

ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНОГО УПРАВЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫМ ИНТЕРВАЛЬНО ЗАДАННЫМ ОБЪЕКТОМ

Ивлев Р.С., Соколова С.П.

Институт проблем информатики и управления Министерства наук - Академии наук, г.Алматы, Республика Казахстан

В докладе представлены результаты решения задачи параметрического синтеза многомерной системы управления интервально-заданным объектом. Использован алгебраический подход к нахождению внутренней интервальной оценки обобщенного множества решений интервального матричного уравнения Сильвестра.

Пусть математическая модель линейного многомерного интервально-заданного объекта управления в пространстве состояний имеет вид

, (1)

где - вектор состояний, - интевальная матрица размерности , , , , - множество всех вещественных интервалов, ; - вектор управляющих воздействий; - интервальная матрица размерности , , , , .

Желаемая динамика замкнутой системы управления задается соотношением

, (2)

где - интервальная матрица размерности , , , , обладающая тем свойством, что все собственные значения точечных матриц локализованы в некоторой наперед заданной области плоскости комплексного переменного.

Для обеспечения желаемой динамики в замкнутой системе управления (2) используется алгоритм

, (3)

где - искомая интервальная матрица размерности , , , , .

Решение задачи параметрического синтеза осуществляется в следующей постановке: для заданного объекта управления (1) требуется определить интервальную матрицу настраиваемых параметров (3) таким образом, чтобы для любых точечных матриц , (1) существовала некоторая матрица , такая, что

(4)

для .

Формальное определение множества точечных матриц алгоритма (3), удовлетворяющих (4), имеет следующий вид

. (5)

Тогда рассматриваемая задача получения интервальной матрицы алгоритма управления (3) является, по существу, задачей внутреннего интервального оценивания множества (5).

Пусть - постоянная точечная матрица, образующая полностью наблюдаемую пару с интервальной матрицей в том смысле, что пара точечных матриц является полностью наблюдаемой для любой матрицы .

Как известно[1], аналогичная задача определения матрицы для точечного объекта управления сводится к разрешимости матричного уравнения Сильвестра относительно неособенной матрицы

, , (6)

при этом матрица определяется из следующего соотношения

. (7)

Интервальным аналогом (6) для рассматриваемого случая является интервальное матричное уравнение Сильвестра вида

. (8)

Задача получения интервальной оценки множества (5) сведена к задаче внутреннего интервального оценивания обобщенного множества решений интервального уравнения Сильвестра (8)

(9)

и объединенного множества решений следующей интервальной системы линейных алгебраических уравнений

, (10)

где - интервальная матрица, удовлетворяющая соотношению .

Для решения задачи внутреннего интервального оценивания множества (9) использован алгебраический подход, предложенный в [2,3], доказана следующая

Теорема: Если правильная интервальная матрица представляет собой алгебраическое решение интервального матричного уравнения

, (11)

где - операция взятия противоположного элемента, , то

.

Литература.

1. Матричные уравнения в задачахуправления и наблюдения непрерывными объектами/ Т.А. Акунов, С.Алишеров, Р.О.Оморов, А.В. Ушаков; Под ред. А.В. Ушакова/ Препринт.- Бишкек: Илим, 1991.- 61 с.

2. Sergey P. Shary Algebraic approach to the interval linear static identification, tolerance and control problems, or One more application of Kaucher arithmetic. Reliable Computing 2, N1, 1996, 3-33.

3. Шарый С.П. Алгебраический подход к анализу линейных статических систем с интервальной неопределенностью.. Известия Академии Наук. Теория и Системы Управления, 1997 N3, с. 51-61.

4. Лакеев А. В., Носков С.И. Конструктивное описание множества решений лиенйного уравнения с интервально заданными оператором и провой частью.- Препринт ИрВЦ СО АН СССР, 1991.