XIV Международная конференция по интервальной математике
ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНОГО УПРАВЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫМ ИНТЕРВАЛЬНО ЗАДАННЫМ ОБЪЕКТОМ
Ивлев Р.С., Соколова С.П.
Институт проблем информатики и управления Министерства наук - Академии наук, г.Алматы, Республика Казахстан
В докладе представлены результаты решения задачи параметрического синтеза многомерной системы управления интервально-заданным объектом. Использован алгебраический подход к нахождению внутренней интервальной оценки обобщенного множества решений интервального матричного уравнения Сильвестра.
Пусть математическая модель линейного многомерного интервально-заданного объекта управления в пространстве состояний имеет вид
, (1)
где - вектор состояний, - интевальная матрица размерности
, , , , - множество всех вещественных интервалов, ; - вектор управляющих воздействий; - интервальная матрица размерности , , , , .Желаемая динамика замкнутой системы управления задается соотношением
, (2)
где - интервальная матрица размерности
, , , , обладающая тем свойством, что все собственные значения точечных матриц локализованы в некоторой наперед заданной области плоскости комплексного переменного.Для обеспечения желаемой динамики в замкнутой системе управления (2) используется алгоритм
, (3)
где - искомая интервальная матрица размерности
, , , , .Решение задачи параметрического синтеза осуществляется в следующей постановке: для заданного объекта управления (1) требуется определить интервальную матрицу настраиваемых параметров (3) таким образом, чтобы для любых точечных матриц
, (1) существовала некоторая матрица , такая, что(4)
для
.Формальное определение множества точечных матриц алгоритма (3), удовлетворяющих (4), имеет следующий вид
. (5)
Тогда рассматриваемая задача получения интервальной матрицы алгоритма управления (3) является, по существу, задачей внутреннего интервального оценивания множества (5).
Пусть - постоянная точечная матрица, образующая полностью наблюдаемую пару с интервальной матрицей в том смысле, что пара точечных матриц является полностью наблюдаемой для любой матрицы
.Как известно[1], аналогичная задача определения матрицы для точечного объекта управления сводится к разрешимости матричного уравнения Сильвестра относительно неособенной матрицы
, , (6)
при этом матрица определяется из следующего соотношения
. (7)
Интервальным аналогом (6) для рассматриваемого случая является интервальное матричное уравнение Сильвестра вида
. (8)
Задача получения интервальной оценки множества (5) сведена к задаче внутреннего интервального оценивания обобщенного множества решений интервального уравнения Сильвестра (8)
(9)
и объединенного множества решений следующей интервальной системы линейных алгебраических уравнений
, (10)
где - интервальная матрица, удовлетворяющая соотношению
.Для решения задачи внутреннего интервального оценивания множества (9) использован алгебраический подход, предложенный в [2,3], доказана следующая
Теорема: Если правильная интервальная матрица представляет собой алгебраическое решение интервального матричного уравнения
, (11)
где - операция взятия противоположного элемента, , то
.
Литература.
1. Матричные уравнения в задачахуправления и наблюдения непрерывными объектами/ Т.А. Акунов, С.Алишеров, Р.О.Оморов, А.В. Ушаков; Под ред. А.В. Ушакова/ Препринт.- Бишкек: Илим, 1991.- 61 с.
2. Sergey P. Shary Algebraic approach to the interval linear static identification, tolerance and control problems, or One more application of Kaucher arithmetic. Reliable Computing 2, N1, 1996, 3-33.
3. Шарый С.П. Алгебраический подход к анализу линейных статических систем с интервальной неопределенностью.. Известия Академии Наук. Теория и Системы Управления, 1997 N3, с. 51-61.
4. Лакеев А. В., Носков С.И. Конструктивное описание множества решений лиенйного уравнения с интервально заданными оператором и провой частью.- Препринт ИрВЦ СО АН СССР, 1991.