При решении методом R-функций краевых задач математической физики для дифференциальных уравнений в частных производных возникает необходимость вычисления производных от сложных функций. Решение краевой задачи имеет вид сложного аналитического выражения, значения частных производных которого используются во всех алгоритмах нахождения неопределенных коэффициентов проекционными и вариационными методами / 1 /. Первостепенное значение при этом имеют алгоритмы дифференцирования сложных функций.

На основе алгебро-логических методов теории R-функций созданы системы серии “Поле”, предназначенные для решения краевых задач, сформулированных для уравнений с частными производными при произвольных краевых условиях и сложной геометрии области / 2 /. Основу автоматизации вычислительных процессов системы “Поле” составляют алгебро-логические модели областей сложной формы и алгебры диференциальных котежей.

Полная формализация вычислительного процесса с помощью кортежной алгебры позволила автоматизировать процессы решения краевых задач в системе “Поле”. При разработке функционального наполнения системы была принята стратегия численно-аналитического дифференцирования с использованием понятия дифференциального кортежа. Суть алгоритма дифференцирования состоит в следующем. Вычисление производных сколь угодно высокого порядка от базисных функций (сложение, умножение, элементарные функции и др.) может быть осуществлено по точным алгоритмам на ЭВМ. Такие вычисления получили название кортежных операций. В результате их выполнения вычисляются дифференциальные кортежи (значения функций и всех частных производных до заданного порядка), которые вместе с кортежными операциями подчиняются законам кортежной алгебры /2/.

При этом вычислительный процесс представим в виде r шагов, каждый из которых выполняет основные операции и запоминает их значения в промежуточных переменных , j=1,...,r /3/. Рассмотрим последовательность операций, выполняемых при вычислении значения функции.

Пусть - ошибка округления на j-м шаге. Тогда вычислительный процесс для функции с n переменными можно представить следующим образом:

Здесь - промежуточные переменные с конечной точностью; - основные операции; - формальные параметры для ; - ошибки округления.

Как доказано в /3/, накопленная ошибка округления в вычисленном значении равна различию между и :.

Данная формула является выражением для верхней границы абсолютного значения ошибки округления. Для вычисления значения оказалось эффективным применить формулы для дифференцирования арифметических операций, приведенные в /2/. Результат вычисления функции представляется интервалом вида .

Для выполнения дальнейших вычислений необходимо преобразовать интервал вида к форме .

Учет ошибок округления при решении краевых задач с использованием средств интервального анализа и методов автоматического дифференцирования по методике, изложенной в /3/, предлагается осуществляется с помощью формулы произведения двух дифференциальных кортежей /2/:

.

; ; .

Выражение для верхней границы абсолютного значения ошибки округления будет иметь вид: .

3. Koichi Kubota and Masao Iri. Estimates of Rounding Errors with Fast Automatic Differentiation and Interval Analysis. Research Memorandum RM188-12. - 1988. - P. 35-51.