XVI Международная школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ СИСТЕМЫ НАВЬЕ—СТОКСА
И. Л. Александровский
Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия
Рассматривается начально-краевая задача в четверти пространства = {(t, x): t > 0, x О } для линеаризованной системы Навье—Стокса
- D u - [u,w ] +С p = f(t,x),
div u =, (1)
0,
где
w = (0,0,w ), w > 0, , , …, — постоянные матрицы размера 3 ґ 4. Предполагается, что и для задачи (1) выполнено условие типа Лопатинского.Пусть
1 < q < Ґ , g > 0. Введем весовое соболевское пространство функций с нормой║
v(t,x), ║ =║ v(t,x), ║ .При
f(t,x) О , (t,x) О З (2)
мы исследуем задачу (1) на разрешимость в классах
u (t,x) О , С p(t,x) О . (3)
В настоящей работе установлено, что для разрешимости ряда задач при
1 < p Ј 3/2 необходимо выполнение условия ортогональности(4)
Именно, имеет место следующая
Теорема 1. Условие (4) необходимо для разрешимости задачи (1) в классах (3) при 1 < p Ј 3/2 тогда и только тогда, когда краевые условия не содержат p, и при всех z в окрестности точки x ’ = 0 неограниченно отношение Q(z,x ’)/P(z,x ’), где Q(z,x ’) и P(z,x ’) — полиномы от x ’ О , z О В , конструируемые по матрице граничного оператора.
Мы приводим полный перечень условий на коэффициенты полиномов Q(z,x ’) и P(z,x ’), при которых такая неограниченность имеет место.
Теорема 2. Пусть правые части системы принадлежат классам (2), тогда при p > 3/2 задача (1) корректно разрешима в классах (3), и при 1 < p Ј 3/2 задача (1) либо безусловно разрешима в классах (3), либо для ее разрешимости необходимо и достаточно выполнение условия (4).
При исследовании мы использовали технику получения оценок, подробно изложенную в монографии [1].