XVI Международная школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости

Модификации метода расщепления для численного решения
уравнений Эйлера и Навье-Стокса

В.Н. Ковеня

К настоящему времени разработаны и активно используются целые классы экономичных разностных схем для численного решения многомерных задач в приближении уравнений Эйлера и Навье-Стокса (см., например, [1,2]). При их конструировании используется, как правило, два подхода. В первом, исходные уравнения аппроксимируются неявной нефакторизованной схемой и полученная система алгебраических уравнений после линеаризации решается той или иной итерационной схемой. Второй подход основан на факторизации уравнений (или факторизации разностной схемы), что позволяет свести решение многомерных задач к последовательному решению их одномерных аналогов. Метод расщепления по физическим процессам и пространственным направлениям [2], как разновидность метода приближенной факторизации позволяет получать решение системы разностных уравнений скалярными прогонками или бегущим счетом. Этот подход оказался эффективным при решении различных классов задач. Однако при решении задач, имеющих сложную структуру решения, эффективность схем расщепления (точность расчетов и скорость сходимости при получении стационарного решения) понижается, что вызвано влиянием приближенной факторизации исходного многомерного оператора.

В работе проведен анализ влияния диссипативных членов, возникающих при расщеплении и приближенной факторизации и предложены схемы минимальной диссипации, реализуемые скалярными прогонками и обладающие свойствами безусловной устойчивости. Дано обобщение схем в различных газодинамических переменных для решения одномерных и многомерных уравнений. Проведены расчеты одномерных и двумерных задач, подтверждающих эффективность предложенных алгоритмов.