ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА

Исследования конвективных течений, вызванных эффектами плавучести (конвекция Грасгофа) и термокапиллярности (конвекция Марангони) получили большое развитие из-за их важности в производстве кристаллов путем бестигельной зонной плавки (БЗП). В большинстве ситуаций термокапиллярная конвекция достаточно мала в сравнении с естественной конвекцией и часто опускается, но ее вклад резко возрастает при слабой гравитации или при расчетах, проводимых для жидкого моста БЗП. Теплообмен и возникающие при этом конвективные течения в расплаве не только влияют на процессы кристаллизации (плавления), но и сами испытывают влияние этих процессов. Таким образом при расчете жидкого моста решается задача Стефана о фазовом переходе (граница жидкость-твердое тело) в области, имеющей свободную поверхность (граница жидкость-газ). Существующие методы численного решения задачи Стефана с конвекцией в областях с фиксированными границами жидкость-газ можно разделить на два типа: методы фиктивных областей (МФО) и основанные на них алгоритмы сквозного счета соответствующих уравнений с разрывными коэффициентами и методы с выделением разрыва и точным удовлетворением условий на нем. Основные трудности решения задач в областях, имеющих свободную границу жидкость-газ связаны с тем: что граничные условия задаются на заранее неизвестных поверхностях, которые должны быть определены в процессе решения задачи. Кроме того формулировка рассматриваемых при этом начально-краевых задач не содержит в явном виде граничных условий для искомых функций (w , y ). Они заданы в виде некоторых соотношений, выражающих непрерывность нормальной и касательной компонент вектора напряжений. В связи с этим для решения задач, связанных с БЗП, вначале был разработан алгоритм, позволяющий получить в явном виде граничные условия для w и y на свободной поверхности и предложен метод расчета конвективных течений вязкой жидкости со свободной границей (жидкость-газ) в переменных вихрь-функция тока. Эти исследования позволили разработать математическую модель для численного решения плоской задачи Стефана о фазовом переходе в области, имеющей свободную границу (жидкость-газ). Модель основана на уравнениях Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска. Для численного решения этой задачи разработан алгоритм, основанный на сочетании двух методов: граница раздела жидкость-твердое тело находится с помощью метода сквозного счета, а свободная поверхность жидкость-газ - с помощью вышеупомянутого метода.