ЗАДАЧ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

При математическом моделировании гидродинамических течений важной задачей является разработка экономичных численных методов. Существующие численные методы, основанные на многомерных нелинейных уравнениях Навье-Стокса относительно переменных скорости, давление или завихренность, функция тока, требуют больших ресурсов вычислительной техники. В данной работе предлагается экономичный безытерационный алгоритм приближённого решения нестационарных двумерных задач вязкой несжимаемой жидкости.

В качестве исходной постановки берётся начально-краевая задача для нестационарного нелинейного дифференциального уравнения четвёртого порядка относительно функции тока. Особенностью данного уравнения является наличие первой производной по времени от оператора Лапласа, что приводит к необходимости обращения двумерного разностного оператора на каждом шаге по времени численного алгоритма с применением итерационных методов.

Для получения безытерационного алгоритма дифференциальное уравнение аппроксимируется возмущённым уравнением с малым параметром путем добавления слагаемого со второй производной по времени от функции тока. При этом повышается порядок уравнения по времени, модифицируются начальные условия задачи. Для возмущённой задачи построена экономичная абсолютно устойчивая разностная схема дробных шагов типа стабилизирующей поправки второго порядка аппроксимации по всем переменным. Разностные уравнения на дробных шагах по времени являются линейными и реализуются пятиточечными прогонками.

С целью апробации метода и исследования взаимодействия малого параметра и шага по времени решена тестовая задача. Проведённые расчеты показали, что предложенный метод позволяет рассчитать с достаточной точностью не только функцию тока, но и производные от нее, что важно при вычислении гидродинамических характеристик.

Описанный метод применен для решения задачи поперечного обтекания двух параллельных круговых цилиндров вязкой несжимаемой жидкостью. Рассмотрены случаи вращающихся цилиндров разных радиусов и различных направлений скорости жидкости относительно пары цилиндров. Область, в которой решается задача, является трехсвязной, и в постановку задачи следует включить интегральные условия, которые эквивалентны однозначности давления в жидкости. Это связано с тем, что граничные значения функции тока заданы лишь на одной из границ многосвязной области, а на остальных границах функция тока определена с точностью до аддитивных функций времени, подлежащих нахождению в процессе решения задачи. Интегральные условия замыкают задачу и позволяют однозначно определить функцию тока во всей расчетной области, в том числе и на границах [1].

Рассмотрена также задача обтекания модели, состоящей из пластинки, расположенной перпендикулярно потоку, и двух цилиндров по краям пластинки. Исследована зависимость силы сопротивления, действующей на модель, от размеров цилиндров и скорости их вращения.

В результате проведенных численных экспериментов получены картины течений и графики их важнейших характеристик.

1. Кузнецов Б.Г., Сироченко В.П. О постановке задач гидродинамики в многосвязных областях // Вычислительные технологии: Сб. научн. трудов -Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1995. -Т. 4. -N 12. -С. 209-218.