, (1)XVI Международная школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости.
ПОВЫШЕННЫЙ ПОРЯДОК ТОЧНОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА
Шваб А.В.
Томский государственный университет, г.Томск, Россия
В работе предлагается развитие нового подхода [1] к численному решению многомерных уравнений переноса импульса и тепла при больших сеточных числах Рейнольдса с повышенным порядком точности при аппроксимации частных производных по пространству. Предлагаемый метод [1] позволяет использовать практически любые аппроксимации повышенного порядка точности, однако, по-видимому, наиболее практичным и перспективным направлением является использование степенной трёхточечной аппроксимации, которую можно получить с помощью зависимости типа
, (1)
где 
- переносимая субстанция,
-координата, коэффициенты 
и 
могут быть определены по значениям 
в узловых точках 
и 
по формулам
, 
.
Разностные аналоги частных производных по пространственным направлениям первого и второго порядка получаются суперпозицией известных разностных формул второго порядка точности с добавлением (в соответствии с разложением в ряд Тейлора) необходимых производных высших порядков используя для этого формулу (1).Однако такой подход при численном решении уравнений переноса при больших сеточных числах Рейнольдса, как известно, вызывает неустойчивость. Устранение этой неустойчивости осуществляется с помощью метода ориентированной псевдоконвекции [1], суть которого сводится к следующему. В уравнение переноса к конвективным членам, которые записываются с повышенным порядком точности,
(обычно 
)
, (2)
которая, с одной стороны, равна нулю (полностью отсутствует и дополнительная, схемная диффузия, по сравнению с существующими подходами), когда процесс сходимости достигнут (
- слой по времени при решении задачи на установление по времени или номер итерации на некотором временном слое при решении нестационарной задачи, 
- положительная постоянная), а, с другой стороны, можно показать, что при
величина
точно соответствует известной устойчивой двухточечной схеме с разностями против потока, если только в процессе сходимости на начальных итерациях выполняется приближенное соотношение
. (3)
Совершенно аналогичные преобразования совершаются и с другими пространственными координатами, причем, как показывают численные исследования, соотношение (3) выполняется достаточно точно на начальных итерациях, собственно, где это и необходимо.
Численные исследования показали также, что увеличение постоянного коэффициента по сравнению с позволяет дополнительно увеличивать устойчивость схемы, а некоторое уменьшение коэффициента (если оно возможно в связи с понижением устойчивости схемы) по сравнению с позволяет ускорять процесс сходимости.
Таким образом, представление конвективных членов в виде (2) позволяет получить устойчивость, близкую к устойчивости двухточечной схемы с разностями против потока при полном отсутствии схемной диффузии, когда задача полностью сойдется к искомому решению. Устойчивость и отсутствие схемной диффузии позволяет строить схемы повышенного порядка точности и, в частности, например схему, основанную на степенной зависимости (1).
Разработанный метод был обобщен для решения стационарных и нестационарных многомерных уравнений переноса в консервативном виде, а также может быть легко приспособлен для аппроксимации конвективных членов другими известными схемами повышенного порядка точности с устойчивостью, близкой к двухточечной разностной схеме против потока. Метод успешно применялся в численных решениях эллиптических дифференциальных уравнений, описывающих динамику отрывных ламинарных и турбулентных закрученных течений на основе разностной схемы второго порядка точности.
В работе показано также применение предложенного метода расчета для численного исследования гидродинамики и теплообмена в каверне с движущейся верхней крышкой на основе разностной схемы четвертого порядка точности при больших числах Рейнольдса.с использованием зависимости (1).
[1] Шваб А.В., Шваб И.А. Метод ориентированной псевдоконвекции при численном решении уравнений переноса. Тез.докл. Межд. конф. “Математические модели и численные методы механики сплошных сред” под ред. Ю.И.Шокина, Новосибирск. 1996, с.519-520.