СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СХЕМ МЕТОДА ЧАСТИЦ В

ЯЧЕЙКАХ

Рассматривается решение системы уравнений, состоящей из кинетических уравнений Власова для каждой компоненты плазмы и системы уравнений Максвелла. Входящие в уравнения Максвелла плотность тока и плотность заряда вычисляются из функций распределения ионов и электронов. Уравнения Власова решаются методом частиц в ячейках, а уравнения Максвелла конечно-разностными методами на равномерной прямоугольной сетке.

Для решения уравнений Максвелла обычно используется схема, предложенная Лэнгдоном и Лазинским в 1976 году, в которой поля определяются из разностных аналогов законов Фарадея и Ампера. В этой схеме значения компонент напряженностей электрического и магнитного полей вычисляются в узлах смещенных относительно друг друга по времени и пространству сетках. Эта схема имеет второй порядок аппроксимации по пространству и по времени и, что особенно важно, в ней автоматически удовлетворяются разностные аналоги законов

Гаусса

при отсутствии зарядов.

В том случае, когда плотность заряда не равна нулю, все зависит от согласования вычисления плотностей заряда и тока. Если они вычисляются так, что удовлетворяется разностный аналог уравнения неразрывности

то закон Гаусса также выполняется. В случае невыполнения этих уравнений электрическое поле подправляется так, чтобы разностные аналоги обоих уравнений выполнялись. Такая поправка была предложена Борисом в 1970 году. Она требует решения уравнения Пуассона на каждом шаге по времени, что отнимает много времени счета. Кроме того, использование прямых методов для решения уравнения Пуассона может давать большую погрешность, так как получающаяся система линейных алгебраических уравнений плохо обусловлена.

В 1987 году Мардер предложил ввести в уравнения поправку, которая вызывает диффузию ошибки в уравнении Гаусса. Этот метод более экономичный, поскольку здесь не требуется решения уравнения Пуассона. Но недостаток этого метода заключается в том, что на каждом шаге погрешность в решении полностью не устраняется, что постепенно может искажать физические процессы.

В 1992 году Вилласенор и Бунеман предложили метод вычисления плотностей тока при помощи точного учета потоков плазмы через границы ячеек. Это позволило автоматически удовлетворить разностному уравнению неразрывности и, следовательно, точно выполнить разностный закон Гаусса.

В нашей работе с помощью численного моделирования исследуется вопрос, насколько важно точное выполнение закона Гаусса при численном решении физических задач. Исследование ведется с помощью известных тестов, а также предложенного нами тестового решения, которое имеет вид поперечной плазменной волны. Сравниваются производительность и точность каждого из указанных выше методов путем сопоставления с точным решением. Проверяются спектральные свойства методов.