Локальные и глобальные свойства
динамических систем.
Приложение к теории конкуренции
в периодической среде

Ильичев В.Г.
Ростовский государственный университет

Аннотация:

Для динамических систем предложен и обоснован принцип наследования ряда локальных свойств глобальным отображением Пуанкаре. На основе развитого геометрического подхода установлены достаточные условия отбора в периодически изменяющейся среде.

A principle is given for global Poincare map to inherit a number of local properties in competition models. Based on geometrical and analytical approach the Selection criterions are formulated and proved for constant and periodically changing environment.


Ключевые слова: локальное и глобальные свойства, модели конкуренции.

Введение.

При исследовании глобальной динамики нелинейных моделей c $T$-периодической правой частью ключевую роль играет сдвиг-отображение за период -- отображение Пуанкаре ($P$). Одной из актуальных проблем является установление свойств дифференциала ($DP$) глобального отображения $P$, исходя из свойств локальной динамики. Так например, знаковая структура матрицы $DP$ определяет многомерный характер монотонности $P$ и позволяет применить к исследованию неавтономных моделей известные методы геометрического анализа [2], [5]. С помощью данного подхода выявлена решающая роль так называемых знак-инвариантных структур при описании конкурентных сообществ.

1. Наследуемые свойства в дискретных моделях.

Здесь локальное поведение фазового вектора $X$ задается гладкой системой
\begin{displaymath} X^{t+1}=F(X^t,t), \end{displaymath} (1)

где $F(X,t)=F(X,t+T)$ для всех $X$ из $\Bbb R^n$ и $t\geqslant 0$. Модель (1) индуцирует глобальное гладкое отображение за период $X^T=P(X^0)$. Пусть $R$ -- числовая функция, зависящая от $n^2$ переменных. С помощью функции $R$ будем задавать так называемые $R$- свойства. А именно, будем говорить: матрица $A$ обладает $R$-свойством, если выполняется неравенство $R(A)>0$. Назовем $R$-свойство полугрупповым, если множество всех матриц $\{A\vert R(A)>0\}$ образует мультипликативную полугруппу. Иными словами, если $R(A)>0$ и $R(B)>0$, то $R(AB)>0$. Пример 1 [3]. Знак-инвариантная структура -- это квадратная таблица $\Sigma(c_1,\dots,c_n)=(\sigma_{ij})$, где $\sigma_{ij}=c_ic_j$ и каждый параметр $c_i$ может принимать только одно из двух значений $\pm 1$. Например, при $n=2$ существуют только две разные знак-инвариантные структуры

\begin{displaymath} \Sigma(1,1)=\Sigma(-1,-1)=\left( \begin{array}{rr} +1 ... ...n{array}{rr} +1 & -1 \\ -1 & +1 \end{array} \right). \end{displaymath}

Очевидно, все матрицы с фиксированной структурой $\Sigma(c_1,\dots,c_n)$ образуют полугруппу по умножению. Отметим, что всякая знаковая структура матриц может быть задана как некоторое $R$-свойство. Так принадлежность матрицы $A=(a_{ij})$ структуре $\Sigma(-1,1)$ эквивалентно неравенству

\begin{displaymath} \min(a_{11},-a_{12},-a_{21}, a_{22})>0. \end{displaymath}

Далее, назовем $R$-свойство универсальным для $DF$, если выполняется неравенство $R(DF(X,t))>0$ при всех $X$ и $t$. А универсальность $R$-свойства для $DP$ означает, что $R(DP(X))>0$ при всех $X$. Очевидно, $P$ является композицией $T$-штук отображений $F$ (т.е. $P=F_1\cdot{\dots}\cdot F_T$), поэтому матрица $DP$ -- произведение матриц $DF_1,{\dots},DF_T$. Отсюда сразу получаем следующий принцип наследования локальных свойств $DF$ глобальным отображением $DP$.

Теорема 1   Пусть $R$-свойство является полугрупповым и универсальным для $DF$, тогда оно универсально и для $DP$.

Пример 2. $T$-периодическая динамика двух конкурентов описывается моделью
\begin{displaymath} x_1^{t+1}=f_1(x_1^t,x_2^t,t),\quad x_2^{t+1}=f_2(x_1^t,x_2^t,t) \end{displaymath} (2)

В типичном случае $f_i$ возрастает по «своей» переменной $x_i$ и убывает по «чужой» переменной $x_j$ (где $j\ne i$). Значит всякий дифференциал $DF=(\partial f_i/\partial x_j)$ принадлежит полугруппе $\Sigma(-1,1)$. Поэтому и знаковая структура $DP$ имеет вид $\Sigma(-1,1)$.

2. Наследуемые свойства в непрерывных моделях.

Здесь локальное поведение переменных задается гладкой $n$-мерной системой
\begin{displaymath} \dot{X}=F(X,t), \end{displaymath} (3)

где $F(X,t)=F(X,t+T)$ для всех $X$ из ${\Bbb R}^n$ и $t\geqslant 0$. Как и в предыдущем случае модель (3) порождает глобальное отображение $X^T=P(X^0)$. Для малых $h>0$ обозначим отображение Эйлера

\begin{displaymath} L(X,t,h)=X+hF(X,t). \end{displaymath}

Здесь актуальна та же проблема: какие свойства локального отображения $DL$ наследуются глобальным отображением $DP$? При решении данной задачи связующую роль выполняют $\pi(X,t,h)$ -- локальные сдвиг-отображения за время $[t,t+h]$ по траекториями системы (3) с началом в точке $X$. Отметим, что из леммы Адамара (цит. по [1]) вытекает полезное представление
\begin{displaymath} \pi(X,t,h)=L(X,t,h)+h^2 G(X,t,h), \end{displaymath} (4)

где $G(X,t,h)$ -- некоторое гладкое отображение. Пусть теперь $R$ -- гладкая функция от $n^2$ переменных. Обозначим $M$ -- произвольно взятая траектория (3) расширенного фазового пространства $({\Bbb R}^n\times{\Bbb R})$ началом в точке $(X^0,0)$ и концом в $(X^T,T)$. Здесь локальная универсальность $R$-cвойства для $DL$ означает, что неравенство
$R(DL)>0$ выполняется в каждой точке $M$ при всех достаточно малых $h$ ($0<h<\delta$). Разумеется, значение $\delta$ может зависеть от $(X,t)$. Далее, будем говорить, что имеет место равномерная локальная универсальность $R$-свойства для отображения $DL$, если удается выбрать общую границу $\delta^*$ для всех точек $M$. Допускаем, что $\delta^*$ может зависеть от $M$. Аналогично определяется равномерная локальная универсальность $R$-свойства и для отображения $\pi$. Разумеется, универсальность $R$-свойства для $DP$ означает: $R(DP)>0$ выполняется в каждой точке $X$. Как и прежде $R$-свойство назовем полугрупповым, если из $R(A)>0$ и $R(B)>0$ следует $R(AB)>0$. По сути, полугрупповые свойства являются «мотором» предлагаемой схемы наследования. Справедлива

Лемма 1   Пусть $R$-свойство является полугрупповым и равномерно локально универсальным для $D\pi$, тогда $R$-свойство является универсальным и для отображения $DP$.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равномерной локальной универсальности $R$ для $D\pi$ следует существование такого $\delta^*$, что $\rho(D\pi(X,t,h))>0$ для всех $(X,t)$ из $M$ и всех $h$ из $(0,\delta^*)$. Далее, выберем натуральное $n$ из условия $T/n<\delta^*$ и разобъем траекторию $M$ на $n$-штук равных временных участков. На каждом $i$-том участке соответствующее локальное отображение $\pi_i$ обладает свойством $R$. Поскольку $P=\pi_1\circ{\dots}\circ \pi_n$, то матрица $DP$ является произведением матриц $D\pi_1,\dots,D\pi_n$. Напомним, $R$ -- полугрупповое свойство, поэтому и $DP$ обладает свойством $R$ на $M$. Последнее, $M$ -- произвольная траектория, значит отображение $DP$ обладает $R$-свойством во всем фазовом пространстве системы (3), ч.т.д.


Далее, при фиксированных $(X,t)$ рассмотрим вспомогательную функцию

\begin{displaymath} \varphi(h)=R(DL(X,t,h))=a+hb(X,t,h). \end{displaymath}

Очевидно, $a$ -- константа, а $b(X,t,h)$ -- гладкая функция. Из локальной универсальности $DL$ следует, что $a\geqslant 0$. А если $a=0$, то обязательно $b(X,t,h)>0$ при всех $(X,t)$ из $M$ при всех $h$ из $(0,\delta(X,t))$. Формально, имеет место $a=\varphi(0)$ и $b(X,t,0)=\varphi'(0)$. Будем называть $R$-свойство грубым (в нуле), если функция $\varphi$ удовлетворяет хотя бы одному из двух условий: 1) $\varphi(0)>0$ или 2) $\varphi'(0)>0$ для всех $(X,t)$ из $M$. Решающее значение имеет

Лемма 2   Пусть грубое $R$-свойство локально универсально для $DL$, тогда оно равномерно локально универсально для $D\pi$.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Cначала покажем "равномерность" для $DL$. Так из локальной универсальности следует: $a+hb(X,t,h)>0$ для всех $0<h<\delta(X,t)$. Можно считать, что верхняя граница изменения $h$ ограничена сверху числами $\delta^*(X,t)=\min\{1,\delta(X,t)\}\le 1$. Далее, рассмотрим в $\Bbb R^{n+2}$ компакт

\begin{displaymath}N=\{ (X,t,h)\,\vert\, (X,t)\ {\rm из\ } M\ {\rm и\ } 0\le h\le \delta^*(X,t) \} \end{displaymath}

и определим непрерывное отображение $U$ из $N$ в $\Bbb R^2$ соотношением

\begin{displaymath}U: \langle X,t,h\rangle \mapsto \langle a, b(X,t,h)\rangle.\end{displaymath}

Образ $U(N)$ представляет собой отрезок $I$ на некоторой вертикальной прямой. В силу грубости  $R$ здесь должно выполняться неравенство $a>0$ (1 вариант) или равенство $a=0$ (2 вариант). Ясно, что в последнем варианте функция $b(X,t,h)$ обязана быть положительной при всех $(X,t)$ из $M$ и $0<h\le\delta^*(X,t)$. Поэтому в обоих вариантах существует прямая $b=-a/\Delta$ при $\Delta>0$, выше которой располагается I. Значит для всех $(X,t)$ из $M$ и $0<h\le\delta^*(X,t)$ выполняется неравенство $a+ \Delta b(X,t,h)>0$. Отсюда следует, что равномерно для всех $0<h<\Delta$ справедливо соотношение $a+hb(X,t,h)>0$. Теперь покажем "равномерность" для $D\pi$. Построим более более длинную вспомогательную функцию (представление Адамара до членов второй степеней $h$)

\begin{displaymath} \varphi(h)=D(D\pi(X,t,h))=a+hb(X,t,0)+h^2 c(X,t,h), \end{displaymath}

где новая функция $c$ -- гладкая. Обозначим через $b^*$ и $c^*$ -- минимальные значения функций $b(X,t,0)$ и $c(X,t,h)$, когда $(X,t)$ из компакта $M$ и $0\leqslant h\leqslant \Delta$. Рассмотрим возможные варианты: 1) $a>0$. Тогда, очевидно, найдется $\delta^*$, при котором

\begin{displaymath} \varphi^*=a+(\delta^*)b^*+(\delta^*)^2 c^*>0 \end{displaymath}

Значит $\varphi(h)>\varphi^*>0$ равномерно для всех $(X,t)$ из $M$ и всех $0<h<\delta^*$; 2) $a=0$ и $b(X,t,0)>0$ для всех $(X,t)$ из $M$. Разумеется, здесь $b^*>0$. Значит найдется $\delta^*>0$, при котором $\varphi^*=\delta^*(b^*+\delta^* c^*)>0$. Поэтому $\varphi(h)>\varphi^*>0$ равномерно для всех $(X,t)$ из $M$ и всех $0<h<\delta^*$, ч.т.д. Понятие грубого свойства можно последовательно «смягчать», используя все более длинные Адамаровские представления для $\varphi(h)$. Из приведеных лемм 1 и 2 сразу вытекает

Теорема 2   Пусть грубое $R$-свойство является полугрупповым и локально универсальным для $DL$, тогда $R$-свойство является универсальным и для отображения $DP$.

Простые приемы позволяют расширить класс наследуемых свойств и на некоторые негладкие функции $R$. Так имеет место

Предложение 1   Пусть каждое из грубых $R_i$-свойств является локально универсальным для $DL$. Если $R=\min(R_1,\dots,R_n)$ -- полугрупповое свойство, то $R$-свойство универсально для отображения $DP$.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно лемме 2 для каждой функции $R_i$ существует $\delta_i$, что для каждой точки $(X,t)$ из $M$ выполняется неравенство
\begin{displaymath} R_i(DL(X,t,h))>0 \end{displaymath} (5)

при всех $0<h<\delta_i$. Положим $\delta^*=\min(\delta_1,\dots,\delta_n)$. Очевидно, неравенство (5) также справедливо при всех $0<h<\delta^*$. Значит при таких $h$ имеет место и $R(DL(X,t,h))>0$. Поэтому $R$-свойство равномерно локально универсально. По условию $R$ -- полугрупповое свойство, тогда, используя схему рассуждений из леммы 1, устанавливаем универсальность $R$-свойства и для $DP$, ч.т.д. Следовательно, если все матрицы $DL$ принадлежат знак-инвариантной структуре
$\Sigma(c_1,\dots,c_n)$, то и матрица $DP$ будет иметь ту же знаковую структуру.

3. Приложение к теории конкуренции.

Предложенный выше подход весьма эффективен при исследовании динамики конкурентов в $T$-периодической среде
\begin{displaymath} \dot{x}_i=x_ig_i(x_1,\dots,x_n,t), \end{displaymath} (6)

где $i=1,\dots,n$. Напомним, что здесь каждая гладкая функция $g_i$ убывает по всем переменным $x_1,\dots,x_n$. При $n=2$ дифференциал локального отображения (6) представляется знак-инвариантной структурой $\Sigma(-1,1)$ и значит знаковая структура дифференциала глобального отображения Пуанкаре

\begin{displaymath} x_1^T=P_1(x_1^0,x_2^0),\quad x_2^T=P_2(x_1^0,x_2^0) \end{displaymath}

имеет вид $\Sigma(-1,1)$. Каждая функция $P_i$ монотонно возрастает по «своей» переменной ($x_i$) и убывает по «чужой» переменной. На точках плоскости $R_+^2$ зададим следующее отношение частичного порядка. Пусть даны две точки $A$ и $B$, тогда положим $A\ll B$, если вектор $(B-A)$ принадлежит конусу -- четвертому квадранту плоскости $R^2$. Из приведенных свойств получаем

\begin{displaymath} \mbox{если\ }\ A\ll B,\ \mbox{\ то и \ }\ P(A)\ll P(B). \end{displaymath}

Данное свойство монотонности позволяет достаточно полно исследовать свойства динамики двух конкурентов в переменной среде. Например, пусть существует инвариантный (для $P$) конусный отрезок, тогда в (6) существует $T$-периодическое решение и т.д. К сожалению, при $n\geqslant 3$ соответствующие матрицы локального отображения $DL$ не являются знак-инвариантными, и возникают проблемы с установлением свойств глобального отображения $DP$. Здесь можно действовать следующим образом. В системе (6) заменим время на противоположное ($t\to -t$). Эта система действует в том же фазовом пространстве, но чтобы не возникало путаницы в новой системе переименуем переменные
\begin{displaymath} \dot{y}_i=-y_i g_i(y_1,\dots,y_n,-t), \end{displaymath} (7)

где $i=1,\dots,n$. Сдвиг-отображение за период $(Q)$ системы (7) оказывается «хорошим», поскольку знаковая структура дифференциала локального отображения (7) является знак-инвариантной матрицей $\Sigma(1,\dots,1)$. Значит в представлении $y_i^T=Q_i(y_1^0,\dots,y_n^0)$ функция $Q_i$ возрастает по каждой переменной. По сути, (7) -- модель симбиоза. Здесь естественно определить свое отношение частичного порядка: $A\ll B$, если вектор $(B-A)$ принадлежит конусу $R_+^n$. Аналогично

\begin{displaymath} \mbox{если\ }\ A\ll B,\ \mbox{\ то и \ }\ Q(A)\ll Q(B). \end{displaymath}

Далее, $Q=(Q_1,\dots,Q_n)$ -- обратное отображение к $P$. Поэтому векторное поле в системе (6) получается путем обращения стрелок в векторном поле (7). Так, неподвижные точки $P$ и $Q$ совпадают. Решающее значение для определения критериев отбора имеет взаимное геометрическое расположение изоклин $\{J_1,\dots,J_n\}$, где

\begin{displaymath} J_i=\left\{(y_1^0,\dots,y_n^0)\bigl\vert y_i^0=y_i^T>0\right\} \end{displaymath}

На основе модификации развитых принципов наследования установлено [4]: всякая изоклина представляет собой монотонную поверхность. На примере $J_1$ это означает, что ее можно задать соотношением $y_1=\varphi_1(y_2,\dots,y_n)$ и $\varphi_1$ строго убывает по каждой переменной $y_j$. С помощью $\varphi_1$ удается сконструировать функцию Ляпунова, позволяющую доказать следующий достаточный признак отбора

Теорема 3   Пусть изоклина $E_1$ расположена выше всех других изоклин, тогда первый конкурент вытесняет остальных.

Заключение.

1) Рассмотренные выше условия учитывали только первые производные локальных и глобальных отображений. Однако многие полезные свойства (например, выпуклость), основываются на вторых (и далее) производных. Поэтому представляет интерес развитие принципов наследования и в данных более сложных ситуациях. 2) Естественное обобщение предложенного математического механизма отбора заключается в следующей гипотезе. Пусть имеется несколько «сильных» изоклин $\{E_1,\dots,E_k\}$, каждая из которых лежит выше всех «слабых» изоклин $\{E_{k+1},\dots,E_n\}$. Тогда все «слабые» конкуренты $\{x_{k+1},\dots,x_n\}$ вымирают в конкурентном сообществе.

Литература

1
Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Наука, Москва, 1984.

2
Ильичев В. Г., Ильичева О. А. Анализ моделей конкуренции в постоянной и периодической среде. Математическое моделирование, 2001 (принята к опубликованию).

3
Ильичев В. Г., Ильичева О. А. Знак-инвариантные структуры матриц и дискретные модели. Дискретная математика, 11,  4, 1999, 89-100.

4
Ильичев В. Г., Ильичева О. А. Универсальные константы запаса и критерии отбора в периодически изменяющейся среде. Журнал Общей Биологии, 61,  6, 2000, 565-582.

5
Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. Наука, Москва, 1975.

Ваши комментарии
[SBRAS]
[Головная страница]
[Конференции]
[СО РАН]

© 2001, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
© 2001, Объединенный институт информатики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт систем информатики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт математики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт цитологии и генетики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Новосибирск
© 2001, Новосибирский государственный университет
Дата последней модификации Tuesday, 04-Sep-2001 18:54:53 NOVST