Шумилов Б.М., Эшаров Э.А.
Томский государственный архитектурно-строительный университет
Томский государственный университет
(1)
Здесь – независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым средним и дисперсией : . В отличие от [3], для нахождения оценок параметров кубического сплайна будем использовать рекуррентный алгоритм глубины 1, требующий вычисления оценки очередного коэффициента через известную оценку с учетом наблюдений, поступивших с (k-1)-го этапа. При этом k-я группа наблюдений не влияет на значения оценок параметров, вычисленных ранее. Такой алгоритм можно определить соотношением
k= –1,0,1,2, … , (2)
где формально можно положить .
Сплайн, построенный в условиях теоремы, обеспечивает точность на многочленах третьей степени.
1) В ходе численных экспериментов c приближением мономов степени, меньшей или равной степени сплайна 3, было установлено, что формулы обеспечивают нулевую погрешность приближения функций f(t)=tl, l=0,1,2,3.
2) Были проведены численные эксперименты с зашумленными функциями с нормально распределенной помехой с нулевым математическим ожиданием и с дисперсией ,=1, 5, 10, 15. На рис. 1 приведен результат для рекуррентного сплайн-фильтра степени 3 глубины 1 для функции f(t)=t2, =10. Оказалось, что для свойства точно воспроизводить многочлены достаточно высокой степени выполняются, для фильтр не может погасить большую погрешность.
Рис.1. Графики функций: f(t)=t2, S3(t) – для сплайна
3-й степени глубины 1, ej – помеха
3) В последней части эксперимента рассматривалось приближение многочлена степени 4, т.е. большей, чем степень сплайн-фильтра. Результирующая погрешность носит название моносплайна степени 3+l, которая в большинстве случаев имеют характерный график. Как известно, моносплайны представляют собой главный член погрешности для приближений достаточно гладких функций. Для l=1,2 результаты приведены на рис. 2.
Рис2. Погрешность
S3(x3+l ,t) -
t3+l
для сплайна степени3глубины 1
|
|
4) Для случая зашумленных данных результат аналогичен предыдущему. В частности, для монома 4-й степени результат приведен на рис. 3.
Рис. 3. Результирующая погрешность
для сплайна степени 3 глубины 1
, (11)
Дальнейшее развитие данной схемы состоит в построении сплайн-фильтров 3-го порядка глубины 2 (аналогично [3]).
Литература:
1. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. – М.: Наука, 1976. – 248 с.
2. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. – М.: Наука, 1980. – 352 с.
3. Ярушкина Н.А., Эшаров Э.А. Моделирование временных рядов методом рекуррентной сплайн-аппроксимации степени 2 глубины 2 // Моделирование неравновесных систем-2005: Материалы VIII Всероссийского семинара, Красноярск, ИПЦ КГТУ, 2005, с. 135-136.
4. Шумилов Б.М. Рекуррентная аппроксимация сплайнами // Известия высших учебных заведений. – 1996. – №1. – С. 85-87.
5. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. – М.: Наука, 1967. – 176 с.
6. Шумилов Б.М., Карлова И.В., Ярушкина Н.А. Рекуррентные и прогнозирующие сплайн-фильтры 1-го и 2-го порядков // Труды Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. 1, Новосибирск, изд-во ИВМ и МГСО РАН, 2004, с. 152-157.
e-mail: sbm@tsuab.ru