МЕТОД РЕКУРРЕНТНОЙ СПЛАЙН-АППРОКСИМАЦИИ СТЕПЕНИ 3 ГЛУБИНЫ 1

Шумилов Б.М., Эшаров Э.А.

Томский государственный архитектурно-строительный университет

Томский государственный университет

Пусть измеряемый процесс f(t) регистрируется в равноотстоящие моменты времени t с шагом измерения , причем f(t) допускает адекватное представление в виде сплайна третьей степени на сетке с шагом

где [1]                           .

Тогда измерения  в моменты , на подотрезках  имеют вид [1,2]:

     (1)

Здесь  – независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым средним и дисперсией :  . В отличие от [3], для нахождения оценок  параметров кубического сплайна будем использовать рекуррентный алгоритм глубины 1, требующий вычисления оценки очередного коэффициента  через известную оценку  с учетом наблюдений, поступивших с (k-1)-го этапа. При этом k-я группа наблюдений не влияет на значения оценок параметров, вычисленных ранее. Такой алгоритм можно определить соотношением

     k= –1,0,1,2, … ,                          (2)

где формально можно положить .

 

Теорема 1. Пусть параметры алгоритма (2) удовлетворяют условиям

          (3)

при                                                         |l|<1.                                                        (4)

Тогда оценки  вычисляются устойчивым образом, являются асимптотически при  несмещенными и имеют дисперсию при   

.                                              (5)

Сплайн, построенный в условиях теоремы, обеспечивает точность на многочленах третьей степени.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проверим условия точности на многочленах третьей степени (см. лемма [4]). В обозначениях леммы имеем

, глубина фильтра p=1.

Тогда для того, чтобы сплайн совпадал тождественно с f(t) для любых f(t) из пространства многочленов степени не выше 3, необходимо и достаточно выполнения равенств

Здесь . Домножим первое равенство на tk  и вычтем его из второго равенства. После некоторых преобразований получим

Аналогично, умножая первое равенство на tk-1 и, вычитая из второго, получим равенство

Далее будет использовано вытекающее из них равенство

Перейдем к третьему равенству системы  и приведем подобные при . Получим:

В силу доказанных первых двух равенств, выражения в скобках равны нулю. Следовательно,

.

Поделив обе части полученного равенства на m2, приходим к третьему из доказываемых условий теоремы 1 (3).

Аналогично, рассматривая четвертое равенство системы, получаем последнее из соотношений (3).

Условия (3) теоремы 1 доказаны.

Обозначим . Тогда (2) можно переписать в виде

                                               (6)

Уравнение (6) – линейное однородное разностное уравнение первого порядка.

Выполнение условия (4) (|l| < 1), как известно, обеспечивает устойчивость решения уравнения (6) к влиянию начального условия  [5].

Далее с учетом (3)

или

.                               (7)

Тогда

                          (8)

В выражении (8) =0 согласно постановке задачи. Таким образом, выражение (8) принимает окончательный вид

или

                                      (9)

Так как |l| < 1, то при k® ¥ из (9) получаем , т.е. несмещенность решения  следует из его устойчивости.

Для несмещенных оценок дисперсия . Далее, так как xi,k+1 по предположению независимы, то величины  и xi,k+1 также независимы. Тогда из (7) получаем

                           (10)

Уравнение (10) представляет собой неоднородное разностное уравнение первого порядка, и решение его имеет вид [5]:

.

Тогда при k® ¥ получим (5). Теорема 1 доказана.

Таким образом, получен устойчивый рекуррентный вычислительный процесс оценки параметров  экспериментальной зависимости, представленной в виде сплайна третьей степени.

При m<2 решения не существует, так как количество параметров меньше количества условий теоремы 1. При m=2 точки измерения удобно располагать в узлах сплайна и по одной точке посередине между узлами сплайна. Тогда значения  В результате имеем 4 неизвестных значения λ, α0, α1, α2, для определения которых требуется решить систему линейных алгебраических уравнений 4-го порядка

Детерминант матрицы системы равен –25/8, поэтому существует единственное решение

.

Поскольку значение λ=3/13 по модулю <1, полученное решение полностью удовлетворяет условиям теоремы 1.

1)     В ходе численных экспериментов c приближением мономов степени, меньшей или равной степени сплайна 3, было установлено, что формулы обеспечивают нулевую погрешность приближения функций f(t)=tl, l=0,1,2,3.

2)     Были проведены численные эксперименты с зашумленными функциями с нормально распределенной помехой с нулевым математическим ожиданием и с дисперсией ,=1, 5, 10, 15. На рис. 1 приведен результат для рекуррентного сплайн-фильтра степени 3 глубины 1 для  функции f(t)=t2, =10. Оказалось, что для  свойства точно воспроизводить многочлены достаточно высокой степени выполняются, для  фильтр не может погасить большую погрешность.

 


Рис.1. Графики функций: f(t)=t2, S3(t) – для сплайна

3-й степени глубины 1, ej – помеха

 

3)     В последней части эксперимента рассматривалось приближение многочлена степени 4, т.е. большей, чем степень сплайн-фильтра. Результирующая погрешность  носит название моносплайна степени 3+l, которая в большинстве случаев имеют характерный график. Как известно, моносплайны представляют собой главный член погрешности для приближений достаточно гладких функций. Для l=1,2 результаты приведены на рис. 2.

 


Рис2. Погрешность S3(x3+l ,t) - t3+l для сплайна степени3глубины 1

 

 

4)      Для случая зашумленных данных результат аналогичен предыдущему. В частности, для монома 4-й степени результат приведен на рис. 3.

 

 

Рис. 3. Результирующая погрешность  

для сплайна степени 3 глубины 1

 

При m>2 число неизвестных параметров алгоритма (3) больше, чем количество условий теоремы 1. Так как остаточная дисперсия оценок в условиях теоремы 1 при   зависит от параметров самого алгоритма λ, αi и дисперсии σ2, то естественно определить такие параметры, которые минимизировали бы величину

,                                                 (11)

удовлетворяя при этом условиям точности на многочленах (3) и устойчивости (4). Решение поставленной задачи выполняется аналогично [6].

Дальнейшее развитие данной схемы состоит в построении сплайн-фильтров 3-го порядка глубины 2 (аналогично [3]).

 

Литература:

1.   Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. – М.:  Наука, 1976. – 248 с.

2.   Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. – М.: Наука, 1980. – 352 с.

3.   Ярушкина Н.А., Эшаров Э.А.  Моделирование временных рядов методом рекуррентной сплайн-аппроксимации степени 2 глубины 2 // Моделирование неравновесных систем-2005: Материалы VIII Всероссийского семинара, Красноярск, ИПЦ КГТУ, 2005, с. 135-136.

4.   Шумилов Б.М. Рекуррентная аппроксимация сплайнами // Известия высших учебных заведений. – 1996. – №1. – С. 85-87.

5.   Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. – М.: Наука, 1967. – 176 с.

6.   Шумилов Б.М., Карлова И.В., Ярушкина Н.А. Рекуррентные и прогнозирующие сплайн-фильтры 1-го и 2-го порядков // Труды Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. 1, Новосибирск, изд-во ИВМ и МГСО РАН, 2004, с. 152-157.

e-mail: sbm@tsuab.ru