Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics

Abstracts

Mathematical problems in geophysical investigations of solid Earth

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений

Ax = f.....................................................(1)

Задача наименьших квадратов состоит в нахождении x из условия:

|f - Ax|$_E^2$ = min$_{x}$....................(2)

Классический (восходящий к работам Лежандра и Гаусса) метод решения задачи (2) состоит в решении системы линейных алгебраических уравнений:

A^TAx=A^Tf = phi.........................(3)

Но если матрица плотно заполненная, имеет большие размеры:

P = NM больше или равно 10^9

и плохо обусловленная, то этот метод безнадежно плох.

Другой метод состоит в использовании ортогонального преобразования:

|f - Ax|$_E^2$=..........................................(4)
|U^T(f-Ax)|$_E^2$=
|U^Tf-U^TAx|$_E^2$ =
|hat{phi} - Rx|$_E^2$ + |hat{phi}|$_E^2$ ,

откуда следует, что решение задачи наименьших квадратов определяется из решения системы линейных алгебраических уравнений с верхней треугольной матрицей R:

Rx = hat{phi}...........................................(5)

inf$_{x in R^M }$ |f-Ax|$_T^2$ = |hat{phi}|$_E^2$

Но и этот метод в описанном выше случае (P=NM больше или равно 10^9, A --- плохо обусловленная матрица) остается неудовлетворительным.

В докладе рассматриваются два принципиально новых метода решения задачи наименьших квадратов (один итерационный, другой, основанный на редукции задачи (1) опять-таки к задаче наименьших квадратов, но с искомым вектором z малой размерности).

В заключение обсуждается вопрос --- почему математики этих методов в свое время не нашли.

Mail to Webmaster

|Home Page| |English Part|

Go to Home