Институт вычислительной математики
и математической геофизики

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

Предлагаются новые методы расщепления (декомпозиции, дробных шагов, переменных направлений) для дифференциальных уравнений в частных производных эволюционного типа. Вывод этих методов основан на виде диагонально-неявных методов. Для того, чтобы методы имели наиболее высокий порядок аппроксимации, коэффициенты метода должны удовлетворять ранее известным и некоторым дополнительным условиям. Коэффициенты метода находятся по методике, которая оптимально учитывает требования устойчивости и аппроксимации.

Пусть в эволюционном уравнении $u_t=Au+f(t)$ дифференциальный оператор $A$ является суммой операторов $A_{i},quad i=1,dots,p$. Рассмотрим также другое разложение $A=sum_{i=1}^s A_{i}^o$ $(sge p)$. Например, если $A=A_1+A_2$ и $s=4$, то $A_1^o=A_3^o=A_1/2$ и $A_2^o=A_4^o=A_2$. Мы предлагаем новый $s$-стадийный диагонально-неявный метод Рунге-Кутты

$$ u_{n+1}=u_{n}+ au sum_{i=1}^s b_{i} left(Ay_i+f_i ight), $$

$$ y_{i}=u_{n}+ au sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}left(Ay_j+f_j ight)+ au a_{ii} left(A_i^o y_i+g_i+f_i ight), $$

где

$$ f_i=fleft(t_n+c_i au ight),quad g_1=sum_{j=2}^s A_j^o u,quad g_i=sum_{j=1,j e i}^s A_j^o y_j(i>1). $$

Найдены коэффициенты методов при $p=2, s=2,3,4$, $p=3, s=2,3$. Тестовые расчеты показали высокую эффективность новых методов. Они,например, имеют лучшие результаты, чем методы стабилизации и предиктор-коррекции. Преимущество методов стабилизации и предиктор-коррекции в том, что их реализация требует меньшего числа арифметических действий, однако они дают хорошие результаты только при малом временном шаге.

Литература

1.Широбоков Н.В. Диагонально-неявные схемы Рунге-Кутты // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. Т.42. N 7. С.1013-1018.

2.Широбоков Н.В. Расщепление эволюционных уравнений на основе диагонально-неявных методов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. Т.43. N 9. С.1416-1423.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)