Институт вычислительной математики
и математической геофизики

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

В докладе представлены новые результаты в области построения гарантированных границ множеств решений обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с неточно заданными данными. Приведены примеры систем ОДУ, для которых построены границы множеств решений. Постановки многих задач содержат данные (например, коэффициенты системы, или начальные данные, или краевые условия), значения которых неизвестны. При этом заданы лишь границы, в пределах которых могут изменяться эти данные, учитывать необходимо каждое из значений данных. Причиной этого являются ошибки изме-рений, неизвестные эффекты, неконтролируемые вариации параметров, внешние возмущающие силы, нелинейные эффекты (при изучении линейных задач) и, вообще, любые другие отклонения от ситуации с точными данными. Необходимо учитывать все значения параметра, включая граничные, то есть рассматривать все варианты систем, допускаемые данной постановкой. Аналогичные постановки имеют место для задач, в которых необходимо получить в качестве ответов - оценки гарантированной точности, обеспечивающие учет множеств решений, а также влияния всех ошибок, в том числе ошибок округления.

Цель решения задачи состоит в определении гарантированных включений (верхних и нижних границ) множеств решений системы ОДУ в следующей постановке egin{eqnarray} label{forintr_1} frac{dy}{dt} & = & f(t,y), y(t^{0}) & = & y^{0}in IY^{0}, onumber IY^{*}(t) = {y(t) = y(t^{k},y^{0}) vert y^{0} in IY^{0}} subseteq IY(t) = IY(t^{k},IY^{0}).end{eqnarray}.

В основу класса гарантированных методов, строящих верхние и нижние границы множества решений систем ОДУ, положены следующие шаги: 1. Запись символьных формул приближенных решений как векторных функций с символьными компонентами ${kY}(t^{k),{kY}^{0})$, зависящими от символьных начальных данных ${{kY}^{0}}_{1},{{kY}^{0}}_{2}),dots,{{kY}^{0}}_{n}.$ 2. Перемещение от шага к шагу вдоль кривой, заданной символьной формулой приближенного решения, аппроксимирующей траекторию системы ( ef{forintr_1}). Построенная символьная формула является основой, по которой строится область значений (интервальное расширение) $IY_{S}(t,IY^{0})$ по всем $y^{0} in IY^{0}.$} 3. Последовательное исполнение метода хранения и переработки символьной информации при продвижении вдоль траектории решений на основе статичного хранения этой информации, работы с адресацией памяти с помощью функций поточной обработки. 4. Преобразование символьной формулы приближенного решения к виду, который позволяет эффективно и быстро вычислять оценки областей значений приближенных решений, соответствующие изменениям параметров задачи ( ef{forintr_1}). Для этого используются опорные функции для многозначных функций, описывающих области значений. 5. Определение границ глобальной ошибки для всех приближенных решений, полученных с использованием символьной формулы ${kY},$ аппроксимирующей оператор сдвига вдоль траектории, при этом применяются в том числе алгоритмы типа гомотопии. Подобные методы оценки решений успешно применялись [1]-[5] для ряда задач естествознания, инженерной практики, постановки которых требуют находить количественные оценки динамики множеств решений системы дифференциальных уравнений. К ним относятся задачи оценки области допустимых начальных состояний при заданной величине допустимых максимальных отклонений на конечном или бесконечном интервале времени; задачи оценки максимальных отклонений на конечном или бесконечном интервале времени при заданной области начальных состояний; задачи оценки области достижимости (всех возможных значений множеств решений) на заданном конечном интервале времени при заданной области начальных состояний; задачи практической устойчивости движений с постоянно действующими возмущениями и другие.

Литература 1. Рогалев А.Н. Задачи практической (интервальной) устойчивости с заданной областью предельных отклонений // Труды пятой международной конференции памяти академика А.П. Ершова. Международное совещание по интервальной математике и методам распространения ограничений. - Новосибирск, 2003. - с. 90 - 100. 2. Рогалев А.Н.Гарантированные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе преобразования символьных формул // Вычислительные технологии, 2003. – т. 8, № 5. с.102 -116. 3. Рогалев А.Н.Поведение динамических систем при экстремальных возмущениях // Вычислительные технологии, 2003. – т. 8 (совместный выпуск по материалам Международной конференции ВТММ-2003). с.68-77. 4. Рогалев А.Н. Гарантированные оценки безопасного функционирования технических и электроэнергетических систем // Труды Всероссийской конференции с международным участием "Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф", Красноярск, 2003, т.3. – с. 42 - 48. 5. Рогалев А.Н. Включение множеств решений дифференциальных уравнений и гарантированные оценки глобальной ошибки // Вычислительные технологии, 2003. – т. 8, № 6, 80 -94.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)