Институт вычислительной математики
и математической геофизики

Тезисы докладов

Статистическое моделирование и методы Монте-Карло

documentstyle[12pt]{article} usepackage{nccbbb} itle{Моделирование изотропных устойчивых и дробно-устойчивых векторов и вычисление их плотности методом Монте-Карло} author{В. В. Учайкин, В. В. Саенко} egin{document} maketitle Впервые дробно-устойчивые плотности появились в работе М. Котульского cite{Kotulski}, как предельное распределение координаты частицы в процессе случайного блуждания с непрерывным временем (CTRW). При этом, распределение величины прыжка и времени покоя между двумя последовательными прыжками имели тяжелые степенные хвосты. В работе В. Ю. Королева и В. В. Учайкина cite{KorolUch} доказана теорема, в которой говориться, что если распределение прыжка принадлежит области нормального притяжения строго устойчивого закона с характеристической функцией $$ ilde{g}(k;alpha, heta)=expleft{-|k|^{alpha}expleft(-i frac{pialpha heta}{2}{mbox{sign}},k ight) ight},quad kinbbr,quad 0 Дробно-устойчивые плотности выражаются через элементарные или специальные функции лишь в некоторых частных случаях. В данной работе мы предлагаем метод статистической оценки изотропных $m$-мерных дробно-устойчивых плотностей для произвольных $alpha$ и $eta$.

В основе предлагаемого метода лежат теоремы, доказанные в cite{Samorodnitsky}. В этих теоремах говорится, что изотропный устойчивый вектор $mathbf{Y}(alpha)$ может быть представлен в виде egin{equation}label{SL_rvec} mathbf{Y}(alpha)stackrel{d}{=}sqrt{S(alpha/2)}mathbf{Y}(2), end{equation} где $mathbf{Y}(2)$ -- изотропный гауссовский вектор, $S(alpha/2)$ -- односторонняя устойчивая случайная величина (субординатор), а знак $stackrel{d}{=}$ означает совпадение распределений. Субординтор моделируется по алгоритму Кантера cite{Kanter} $$ S(alpha/2)stackrel{d}{=}left[frac{V_{alpha/2}(pi U_1)}{left|ln U_2 ight|} ight]^{(2-alpha)/2}, V_{eta}(Phi)=frac{[sin(etaPhi)]^{eta/(1-eta)}sin((1-eta) Phi)}{(sinPhi)^{1/(1-eta)}}. $$ Здесь $Phi$ -- случайная величина, равномерно распределенная на интервале $(0,pi)$. Гауссовская случайная величина $Y(2,0)$ -- моделируется по известному алгоритму $$ Y(2,0)stackrel{d}{=}2sqrt{|ln U_3|}cosleft(2pi U_4 ight), $$ где $U_j$ -- независимые случайные величины, равномерно распределенные на интервале $(0,1)$.

Основываясь на представлении ( ef{SL_rvec}), нами показано, что дробно-устойчивый случайный вектор $mathbf{Q}(alpha,eta)$ можно моделировать по формуле egin{equation}label{FSD_vec} mathbf{Q}(alpha,eta)stackrel{d}{=} left[S(eta) ight]^{-eta/alpha}mathbf{Y}(alpha)= left[S(eta) ight]^{-eta/alpha}left[S(alpha/2) ight]^{1/2} mathbf{Y}(2), end{equation} где $S(eta)$ и $S(alpha/2)$ взаимно независимые субординаторы.

С помощью приведенных алгоритмов можно моделировать не только многомерные случайные вектора, но и моделировать плотность распределения случайной точки в $m$-мерном пространстве. Простейший метод, который позвалаяет реализовать поставленную задачу, это гистограммная оценка метода Монте-Карло. К сожалению, гистограммная оценка обладает одним существенным недостатком. Получаемые при помощи ее результаты, содержат как статистическую погрешность, так и систематическую погрешность. Поэтому, нами был получен алгоритм, который позволяет оценивать плотность непосредственно в точке, т.е. результаты, даваемые этим алгоритмом, будут свободны от систематической составляющей погрешности.

В основу этих алгоритмов положено, что устойчивые и дробно-устойчивые случайные вектора можно представить в виде ( ef{SL_rvec}) и ( ef{FSD_vec}), соответственно. В результате, формула оценки плотности устойчивого распределения имеет вид $$ widehat{g}(r;alpha)=frac{1}{N}sum_{j=1}^N frac{expleft{-r^2/(4S_j(alpha/2)) ight}}{[4pi S_j(alpha/2)]^{m/2}}, $$ где $S_1,...,S_j,...$ независимые копии $S(alpha/2)$. Это несмещенная, состоятельная оценка для $g(r;alpha)$. Плотность изотропного дробно-устойчивого распределения можно оценить по формуле $$ widehat{q}(r;alpha,eta)=frac{1}{N}sum_{j=1}^N expleft{-frac{r^2 [S_j(eta)]^{2eta/alpha} }{4[S_j(alpha/2)]} ight} frac{[S_j(eta)]^{meta/alpha}}{left(4pi [S_j(alpha/2)] ight)^{m/2}}, $$ где $S_j(alpha/2)$ и $S_j(eta)$ -- независимые копии соответствующих субординаторов.

Используя описанный алгоритм, были табулированы плотности дробно-устойчивых распределений. Параллельно вычислялась статистическая ошибка, присущая методу Монте-Карло. Сравнение результатов оценки с известными представлениями дробно-устойчивых плотностей через специальные функции, показало, что результаты совпадают вплоть до четвертого знака после десятичной запятой.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 03-01-00163 и Royal Society Grant gt/fSU/JP. egin{thebibliography}{99} ibitem{Kotulski} M. Kotulski J. Stat. Phys. v. 81, p. 777-779 (1995) ibitem{KorolUch} В. Ю. Королев, В. В. Учайкин. Некоторын предельные теоремы для обобщенных процессов восстановления с тяжелыми хвочтами. {it ТВиП}. т. 45, с. 809-811 (2000). ibitem{Samorodnitsky} {G. Samorodnitsky, M. S. Taqqu.} extit{Stable Non-Gaussian Random Processes.} {New-York.}{Chapman and Hall. }{1994} ibitem{Kanter} {M. Kanter}{Stable densities under change of scale and total variation inequalities}{Ann. Probab.}{v. 3, p. 697 - 707 (1975).} end{thebibliography} end{document}

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)