Институт вычислительной математики
и математической геофизики

Тезисы докладов

Статистическое моделирование и методы Монте-Карло

documentclass[12pt]{article} usepackage[cp866]{inputenc} usepackage[T2A]{fontenc} usepackage[english,russian]{babel} usepackage{indentfirst} extheight 210.0mm opmargin -10.0mm extwidth 150.0mm oddsidemargin 4.8mm evensidemargin 4.8mm itle{Численные характеристики случайных последовательностей} author{С. Балакин} egin{document} maketitle paragraph{1.} Рассматриваются совместные распределения различных характеристик серий в двоичной марковской последовательности и первые моменты этих распределений. В докладе описываются совместное и маргинальные распределения числа единиц, числа серий из единиц и первые моменты выбранных характеристик. Находятся производящие функции этих распределений. Для средних значений, дисперсий и ковариаций даются точные и приближенные формулы с оценками. Выводятся формулы для нормальных приближений. Получающиеся результаты имеют приложения в самых различных областях: генетике, моделировании природных процессов, экономической статистике. paragraph{2.} В частности, подробно рассматривается двоичная марковская последовательность $xi$ случайных переменных $xi(k)$, $k ge 0$ с множеством значений $C={1,0}$, начальным вектором $A$ и переходной матрицей $Q$: [ egin{array}{cc} A=(a, 1 - a), & Q= left(egin{array}{cc} p & 1-p 1-q & q end{array} ight). end{array} ] Случайные величины, равные числу 1-ц и числу 1-серий последовательности $xi$ на отрезке $[0,n]$, выражаются соответственно равенствами: [ egin{array}{cc} x(n) = xi (0) + sumlimits_{k = 1}^n {xi (k)}, & y(n) = xi(0) + sumlimits_{k = 1}^n {left( 1 - xi (k - 1) ight)} xi (k). end{array} ] paragraph{3.} Для совместного распределения числа 1-ц и числа 1-серий верна формула: egin{equation} label{6} P(x(n)=i,y(n)=j) = bleft(j - 1,i - 1,1 - p ight) sum limits_{alpha ,eta } {chi _{alpha eta } bleft(j - alpha - eta ,n - i,1 - q ight)}, end{equation} где $alpha, eta in {0,1}$, [ egin{array}{c} b(k,m,x) = left(egin{array}{c} m k end{array} ight) x^k left(1-x ight)^{m - k}, chi _{alpha eta } = left(alpha a + (1 - alpha )(1 - a) ight)left(eta left(1 - q ight) + left(1 - eta ight)left(1 - p ight) ight). end{array} ] paragraph{4.} Методом производящих функций получаются точные формулы для математических ожиданий и дисперсий рассматриваемых характеристик, удобные для анализа. Находятся точные формулы для ковариации и корреляции числа 1-ц и числа 1-серий. В несимметричном и симметричном $(p=q)$ случаях получены следующие асимптотические формулы для ковариации: [ egin{array}{cc} Cov(x(n),y(n)) = O(n), & Cov(x(n),y(n)) = O(1). end{array} ] Для корреляции в симметричном случае: [ K(x(n),y(n)) = Oleft(1/n ight). ] paragraph{5.} Равенство ( ef{6}) для совместного распределения случайных переменных $x(n)$, $y(n)$ позволяет получить достаточно простую формулу для его нормального приближения. Используются приближенные формулы для биномиального распределения, указанные в cite[теорема 1.1.12]{Kolch}. paragraph{6.} В качестве естественных характеристик марковских последовательностей можно также рассматривать длины накрывающих серий (cite{SBK}) и максимум длин серий. В двоичном случае для них получаются удобные для анализа точные формулы. Находятся производящие функции. Обнаружено следующее важное свойство марковских последовательностей: в отличие от последовательностей независимых случайных переменных, в марковских последовательностях вероятности длин серий могут не всегда убывать с возрастанием длин и соответствующие распределения могут иметь сложный характер. Исследуются условия, при которых благодаря марковскому свойству возникает особенность: вероятности возрастают вместе с длиной серии. egin{thebibliography}{19} egin{small} ibitem{Kolch} Колчин В.Ф. emph{Случайные графы.} Москва, Физматлит, 2000. ibitem{SBK} Савельев Л.Я., Балакин С.В., Хромов Б.В. Накрывающие серии в двоичных марковских последовательностях. emph{Дискретная математика}, том 15, вып. 1, 2003. С.~50-76. end{small} end{thebibliography} end{document}

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)