Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений
Вариационная постановка задачи Синьорини имеет вид [1]
$$left{egin{array}{l}J(u)={1over2}int_Omega|
abla u|^2dOmega-int_Omega
fudOmega~-min
uin G.end{array}
ight.eqno(1)$$
Здесь $Omegasubset R^m$ ограниченная область с достаточно регулярной
границей $Gamma$, $n$ - единичный вектор внешней нормали к $Gamma$, $fin
L_2(Omega)$, $psiin L_2(Gamma)$ - заданные функции, $gamma uin
W^{1/2}_2(Gamma)$ - след функции $uin W^1_2(Omega)$ на $Gamma$.
Задача Синьорини описывает процесс установившегося движения жидкости в
$Omega$, ограниченной полупроницаемой мембраной [1]. $psi$ - заданное
давление жидкости на границе (жидкость может втекать в область $Omega$,
если $u(x)leqpsi(x)$, и не может вытекать ни при каких условиях), $f$ -
поток жидкости в области $Omega$, $u$ - искомое распределение давления.
Множество $G={uin W^1_2(Omega):~~gamma ugeqpsi~~mbox{п. в. на}~~
Gamma}$ является выпуклым и замкнутым множеством.
par
В [1] установлено, что при
$$intlimits_Omega fdOmega<0eqno(2)$$
задача (1) имеет и только одно решение.
par
Решение задачи (1) минимизации функционала эквивалентно
решению ваpиационного неpавенства
$$int_Omega
abla ucdot
abla(v-u)dOmega-int_Omega f(v-u)dOmegageq0,~~~
forall vin G.eqno(3)$$
Ядро $R$ билинейной формы $a(u,v)=int_Omega
abla ucdot
abla vdOmega$
состоит из функций постоянных на $Omega$.
par
Пусть $Q_1$ - ортопроектор пространства $W_2^1(Omega)$ на
ядро $R$ билинейной формы $a(u,v)$ относительно скалярного
произведения $langle u,v
angle=intlimits_Omega
abla u
abla vdOmega+
intlimits_Omega udOmegaintlimits_Omega vdOmega$ [2].
Обозначим чеpез $R^ot$ ортогональное дополнение к $R$, относительно
того же cкалярного произведения.
Запишем разложение $u=u_0+u_1$,
где $u_0=Q_1u$=const, а $u_1in R^ot$.
По ортогональности $u_0$ и $u_1$ имеем $0=intlimits_Omega u_0dOmega
intlimits_Omega (u-u_0)dOmega=u_0{
m mes}Omegaintlimits_Omega
(u-u_0)dOmega$, т.е. $intlimits_Omega(u-u_0)
dOmega=0$. Таким образом $Q_1u={1over{{
m mes}Omega}}intlimits_Omega
udOmega$ (${
m mes}Omega=intlimits_Omega dOmega$).
$R^ot$ состоит из функций $u$ таких, что $intlimits_Omega
udOmega=0$. $Q_2=I-Q_1$ ($I$ - единичный оператор). Из неравенства
Пуанкаре [3]
$$int_Omega u^2dOmegaleq Cint_Omega|
abla u|^2dOmega+Dleft(int_
Omega udOmega
ight)^2,$$
где $C>0~D>0$ - константы не зависящие от $u$, вытекает, что билинейная форма
$a(u,v)$ строго коэрцитивна на ортогональном дополнении к ядру, т.е.
существует такое число $delta>0$,
что $$a(v,v)geqdelta|Q_2v|^2_{W^1_2(Omega)}.eqno(4)$$
Поэтому целесообразно проводить регуляризацию только на ядре $R$
билинейной формы.
par
Приведем алгоритм пошаговой prox-регуляризации для решения задачи (1)
с регуляризацией на ядре билинейной формы.
par
a) Пусть $z^0$ произвольный элемент $G$.
par
b) По заданному $k$ находим $z^{k+1}$ из условий
$$egin{array}{l}u^{k+1}={lower4pthbox{$displaystyle{
m argmin}atop
{uin G}$}},left{J(u)+|Q_1(u-z^k)|^2_{L_2
(Omega)}
ight},[0.4cm]
|z^{k+1}-u^{k+1}|_{W^1_2(Omega)}leqvarepsilon_{k+1},~~
varepsilon_{k+1}>0.end{array}$$
par
{f Теоpема.} Пусть множество $G^*={uin G:~~~u=inf_{vin G} J(v)}$
непусто и $sum_{k=1}^inftyvarepsilon_k
© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
Ваши комментарии
Обратная связь
[Головная страница]
[Конференции]
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)