Институт вычислительной математики
и математической геофизики

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

Вариационная постановка задачи Синьорини имеет вид [1] $$left{egin{array}{l}J(u)={1over2}int_Omega| abla u|^2dOmega-int_Omega fudOmega~-min uin G.end{array} ight.eqno(1)$$ Здесь $Omegasubset R^m$ ограниченная область с достаточно регулярной границей $Gamma$, $n$ - единичный вектор внешней нормали к $Gamma$, $fin L_2(Omega)$, $psiin L_2(Gamma)$ - заданные функции, $gamma uin W^{1/2}_2(Gamma)$ - след функции $uin W^1_2(Omega)$ на $Gamma$. Задача Синьорини описывает процесс установившегося движения жидкости в $Omega$, ограниченной полупроницаемой мембраной [1]. $psi$ - заданное давление жидкости на границе (жидкость может втекать в область $Omega$, если $u(x)leqpsi(x)$, и не может вытекать ни при каких условиях), $f$ - поток жидкости в области $Omega$, $u$ - искомое распределение давления. Множество $G={uin W^1_2(Omega):~~gamma ugeqpsi~~mbox{п. в. на}~~ Gamma}$ является выпуклым и замкнутым множеством. par В [1] установлено, что при $$intlimits_Omega fdOmega<0eqno(2)$$ задача (1) имеет и только одно решение. par Решение задачи (1) минимизации функционала эквивалентно решению ваpиационного неpавенства $$int_Omega abla ucdot abla(v-u)dOmega-int_Omega f(v-u)dOmegageq0,~~~ forall vin G.eqno(3)$$ Ядро $R$ билинейной формы $a(u,v)=int_Omega abla ucdot abla vdOmega$ состоит из функций постоянных на $Omega$. par Пусть $Q_1$ - ортопроектор пространства $W_2^1(Omega)$ на ядро $R$ билинейной формы $a(u,v)$ относительно скалярного произведения $langle u,v angle=intlimits_Omega abla u abla vdOmega+ intlimits_Omega udOmegaintlimits_Omega vdOmega$ [2]. Обозначим чеpез $R^ot$ ортогональное дополнение к $R$, относительно того же cкалярного произведения. Запишем разложение $u=u_0+u_1$, где $u_0=Q_1u$=const, а $u_1in R^ot$. По ортогональности $u_0$ и $u_1$ имеем $0=intlimits_Omega u_0dOmega intlimits_Omega (u-u_0)dOmega=u_0{ m mes}Omegaintlimits_Omega (u-u_0)dOmega$, т.е. $intlimits_Omega(u-u_0) dOmega=0$. Таким образом $Q_1u={1over{{ m mes}Omega}}intlimits_Omega udOmega$ (${ m mes}Omega=intlimits_Omega dOmega$). $R^ot$ состоит из функций $u$ таких, что $intlimits_Omega udOmega=0$. $Q_2=I-Q_1$ ($I$ - единичный оператор). Из неравенства Пуанкаре [3] $$int_Omega u^2dOmegaleq Cint_Omega| abla u|^2dOmega+Dleft(int_ Omega udOmega ight)^2,$$ где $C>0~D>0$ - константы не зависящие от $u$, вытекает, что билинейная форма $a(u,v)$ строго коэрцитивна на ортогональном дополнении к ядру, т.е. существует такое число $delta>0$, что $$a(v,v)geqdelta|Q_2v|^2_{W^1_2(Omega)}.eqno(4)$$ Поэтому целесообразно проводить регуляризацию только на ядре $R$ билинейной формы. par Приведем алгоритм пошаговой prox-регуляризации для решения задачи (1) с регуляризацией на ядре билинейной формы. par a) Пусть $z^0$ произвольный элемент $G$. par b) По заданному $k$ находим $z^{k+1}$ из условий $$egin{array}{l}u^{k+1}={lower4pthbox{$displaystyle{ m argmin}atop {uin G}$}},left{J(u)+|Q_1(u-z^k)|^2_{L_2 (Omega)} ight},[0.4cm] |z^{k+1}-u^{k+1}|_{W^1_2(Omega)}leqvarepsilon_{k+1},~~ varepsilon_{k+1}>0.end{array}$$ par {f Теоpема.} Пусть множество $G^*={uin G:~~~u=inf_{vin G} J(v)}$ непусто и $sum_{k=1}^inftyvarepsilon_k Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)