Институт вычислительной математики
и математической геофизики

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

Рассмотрен подвижный монохроматический точечный источник (или диполь) звукового сигнала, расположенный в слое воды, свойства которой (плотность и скорость распространения звука) могут скачком меняться на гладкой поверхности. При этом считается, что скорость движения источника значительно меньше скорости распространения звука. Задача сводится к решению граничной задачи Дирихле, Неймана, и/или к задаче сопряжения для скалярного уравнения Гельмгольца в каждый момент времени.

В качестве примера рассмотрен источник, движущийся в мелком море. В каждый момент времени на поверхности моря для избыточного давления задается условие Дирихле. Рассматриваются разные модели дна. В зависимости от выбранной модели ставятся различные граничные задачи. В случае, когда дно является абсолютно жестким, то на дне ставится условие Неймана. Более сложной является модель многослойного дна, когда дно моделируется несколькими слоями, разделенных поверхностями, на которых акустические свойства среды меняются скачком. В этом случае на этих поверхностях задаются условия сопряжения.

Влияние каждой поверхности на рассчитываемую величину будем учитывать с помощью потенциала простого слоя (если на поверхности задано условие Дирихле) или потенциала двойного слоя (если на поверхности задано условие Неймана или условие сопряжения). Поставленная задача с помощью теории потенциала сведена к системе интегральных уравнений, некоторые из которых являютя гиперсингулярными интегральными уравнениями. Система решается численно с помощью метода замкнутых дискретных вихревых рамок, модифицированного для уравнения Гельмгольца. При этом задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

Для решения системы интегральных уравнений искомая функция (или функции) ищется в виде, учитывающем известную правую часть интегральных уравнений, что позволяет найти хорошее приближение к требуемому решению и тем самым значительно уменьшить затраты машинного времени и компьютерных ресурсов.

При численном решении также учитываются особенности решаемой задачи. Например, не учитывается волнение на поверхности моря, то есть граница воды и воздуха считается плоскостью. В данном случае граничное условие на поверхности моря можно учесть сразу при численном решении системы интегральных уравнений - с помощью функции Грина. Это приводит к уменьшению числа решаемых в системе интегральных уравнений на единицу, что также уменьшает вычислительную работу.

Для целого ряда частных, но важных случаев учитывается осесимметричность решаемой задачи. Что позволяет сократить размерность решаемой задачи. Однако использование этой особенности решаемой задачи приводит к необходимости использования аппарата специальных функций, в частности эллиптических интегралов.

При численном решении гиперсингулярного интегрального уравнения особую техническую трудность представляет набор матрицы, поскольку для вычисления каждого элемента матрицы приходится численно вычислять интегралы по площадке. Для случая, когда поверхность, на которой записывается гиперсингулярное интегральное уравнение (то есть в постановке задачи задается условие Неймана), представляет собой плоскость, удалось разработать эффективную методику вычисления элементов матрицы. В основу методики положено то, что расчетные формулы зависят от расстояния между площадкой и расчетной точкой. В одном случае получены аналитические формулы вычисления слабосингулярных интегралов по площадке, а в другом показано, что при больших расстояниях можно ограничиться менее трудоемкими вычислениями.

Проведена апробация метода численного решения системы интегральных уравнений на тестовых задачах, когда источник расположен в полубесконечном волноводе. При этом рассмотрены случаи, когда полубесконечную область ограничивает плоскость, на которой задано условие Дирихле, и второй случай - когда задано условие Неймана. Точное решение этих задач получено с помощью метода мнимых источников. На основании полученных решений показана практическая сходимость численного метода решения системы гиперсингулярных интегральных уравнений к точному решению.

В результате проведены численные исследования, иллюстрирующие расчет ГАП в модельных задачах, для которых имеются решения поставленных задач в конечном виде. Приведены примеры расчётов ГАП для волновода конечной глубины в фиксированный момент времени. Для нестационарной задачи проведены расчеты проходной характеристики для различных моделей дна.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)