Институт вычислительной математики
и математической геофизики

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

В статье [1] эволюционное уравнение типа уравнения Буссинеска с дополнительным диссипативным членом, содержащим свертку, получено для плоских возмущений границы раздела двух слоев вязкой жидкости, в канале с горизонтальными дном и крышкой. Там же была продемонстрирована способность этой модели адекватно описывать трансформацию профиля экспериментально наблюдаемых волн [2]. Целью данной работы является обобщение указанной модели на случай существенно трехмерных возмущений в двухслойной среде с пологими дном и крышкой.

Предполагается, что, во-первых, стационарные составляющие течений несмешивающихся жидкостей равны нулю, во-вторых, "длина волны" существенно больше, а амплитуда возмущения значительно меньше равновесных глубин слоев, в-третьих, капиллярные эффекты не велики, в-четвертых, неподвижные твердые крышка и дно являются слабонаклонными, и, наконец, в-пятых, появляющиеся пограничные слои остаются тонкими, т. е. время прорастания пограничных слоев на всю толщину жидкости много больше характерного времени волнового процесса. Следовательно, возникающее течение будет потенциальным всюду за исключением узких приграничных областей.

Благодаря интегрированию по вертикальной координате, а также с помощью стандартных кинематических и динамических краевых условий, исходная система уравнений неразрывности и движения сведена к новому эволюционному уравнению. Учитывая, что данное уравнение подобно уравнению для волн на свободной поверхности однородной жидкости, расчеты были выполнены с помощью неявной трехслойной конечно-разностной схемы, приведенной в работе [3]. Эта схема имеет второй порядок аппроксимации по всем трем переменным и обладает очень хорошей устойчивостью.

Вначале было рассмотрено распространение двумерного возмущения в канале с горизонтальными дном и крышкой. Если исходная волна являлась очень длинной, то возмущение сперва трансформировалось в "треугольное" с крутым передним и растянутым задним фронтом, а затем из него выделялась цепочка уединенных волн спадающей амплитуды. А если же исходная волна была умеренно длинная, то более пологим становится ее передний фронт, за которым возникают медленно затухающие со временем осцилляции. Можно сказать, что начальное возмущение распадается на один солитон и волновой пакет.

Исследована также эволюция двумерного уединенного возмущения в канале с наклонным участком крышки. Если глубина верхнего слоя уменьшалась, но оставалась больше глубины нижнего, то за основным возмущением появлялся небольшой дисперсионный "хвост" в виде волнового пакета. А если же глубина верхней жидкости становилась меньше глубины нижней, то имело место не только очевидное убывание скорости распространения возмущения, но и кардинальное изменение его формы. Наблюдалось усиление колебаний в волновом пакете и выполаживание переднего фронта возмущения. По мере снижения крышки коэффициент при нелинейном члене модельного уравнения изменял свой знак, что и приводило именно к такому разрушению исходной волны.

Результаты расчетов по распространению уединенного внутреннего возмущения в двухслойной жидкости под крышкой при плавном подъеме дна представлены в статье [4]. Динамика волны, полученная в данной работе, хорошо с ними согласуется.

Литература

[1] Хабахпашев Г. А. Эволюция возмущений границы раздела двух слоев вязкой жидкости // Изв. АН СССР, Мех. жидк. газа. 1990. № 6. С. 118-123.

[2] Гаврилов Н. В. Вязкое затухание уединенных внутренних волн в двухслойной жидкости // Ж. прикл. мех. техн. физ. 1988. Т. 29. № 4. С. 51-55.

[3] Литвиненко А. А., Хабахпашев Г. А. Численное моделирование нелинейных достаточно длинных двумерных волн на воде в бассейнах с пологим дном // Вычисл. технол. 1999. Т. 4. № 3. С. 95-105.

[4] Helfrich K. R., Melville W. K., Miles J. W. On interfacial solitary waves over slowly varying topography // J. Fluid Mech. 1984. V. 149. P. 305-317.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)