Институт вычислительной математики
и математической геофизики

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

documentstyle[12pt]{article} title{ Численное решение одномерной обратной задачи электроупругости для вертикально-неоднородной среды кубической структуры } author{ Меражов И.З., Комиссаров В.В.} begin{document} maketitle Настоящая работа посвящена построению и численной реализации алгоритма решения задачи нахождения в трехмерном пространстве модулей упругости и пьезоэлектрического модуля, зависящих от одной пространственной переменной (глубины) при воздействии на границу полупространства направленной силы, сосредоточенной в точке. Одномерная обратная электроупругости, решаемая в настоящей работе, содержит в качестве информации функционалы от заданного на границе полупространства ускорения вектора смещений. Показано, что решение задачи в такой постановке устойчиво к малым вариациям в пространстве С. Предлагаемый алгоритм решения задачи основан на сведение исходной задачи к последовательному решению нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра.

Рассмотpенно в области $x=(x_{1},x_{2},x_{3})inR^{3}$, $tinR$, $x_3>0$ система диффеpенциальных уpавнений электроупругости: $$ hofrac{partial^{2}u_{i}}{partial t^{2}}=sum_{j=1}^{3} frac{partial T_{ij}}{partial x_{j}},quad i=1,2,3; quad x_3>0, eqno{(1)} $$ $$ div D = 0, quad ot E = 0, eqno{(2)} $$ со следующими начальными и гpаничными условиями $$ u_i mid _{t<0} = 0, quad i=1,2,3, eqno{(3)} $$ $$ E_i mid _{t<0} = 0, quad i=1,2,3, eqno{(4)} $$ $$ T_{i3} mid _{x_3=+0} = f_i(x_1, x_2, t), quad i=1,2,3, eqno{(5)} $$ $$ varphi mid _{x_3=+0} = g(x_1, x_2, t), quad frac{partial varphi}{partial x_{3}} mid_{x_3=+0} = 0. eqno{(6)} $$ Здесь $x=(x_{1},x_{2},x_{3})inR^{3}$, $ ho= ho(x)$ - плотность неоднородной среды, $ ho(x)>0$ , $u=(u_{1},u_{2},u_{3})$ -вектор смещений с компонентами $u_{i}=u_{i}(x,t)$, $i=1,2,3,$ $E=(E_{1},E_{2},E_{3})$ -вектор электрической напряженности с компонентами $E_{i}=E_{i}(x,t)$, $D=(D_{1},D_{2},D_{3})$ -вектор электрической индукции с компонентами $D_{i}=D_{i}(x,t)$, $i=1,2,3.$

Для тензоров напряжений $T_{ij}(x,t)$ и деформаций $S_{kl}(x,t)$ и компонент электрической индукции $D_{j}(x,t)$ имеют место представления: $$ T_{ij}=sum_{k,l=1}^{3}c_{ijkl} S_{kl} - sum_{k=1}^{3}e_{kij}E_{k}, quad i=1,2,3,quad j=1,2,3, eqno{(7)} $$ $$ S_{kl} = frac{1}{2} left( frac{partial u_{k}}{partial x_{l}} + frac{partial u_{l}}{partial x_{k}} ight), quad k=1,2,3,quad l=1,2,3, eqno{(8)} $$ $$ D_{j}=sum_{k=1}^{3}varepsilon_{jk}E_{k}+sum_{k,l=1}^{3}e_{jkl} S_{kl}, quad j=1,2,3. eqno{(9)} $$ oindent $c_{ijkl}=c_{ijkl}(x)$ - модули упругости, $e_{kij}=e_{kij}(x)$ - пьезоэлектрические модули, $varepsilon_{ij}=varepsilon_{ij}(x)$ - диэлектрические модули, $mu=mu(x)$ - магнитная проницаемость.

Система (1), (2) описывает распространение связанных элeктpоупpугих волн. Связь упругих и электрических процессов определяется пьезоэлектрическими модулями среды.

Пусть $ ho, varepsilon$ -- заданные положительные постоянные. Обратная задача заключается в том, чтобы найти коэффициенты $c_{11}, c_{12}, c_{44}, e_{14} $, входящие в диффеpенциальные уpавнения (1)--(2), если pешение пpямой задачи удовлетвоpяет следующим pавенствам: $$ frac{partial^{2}}{partial t^{2}} u_1 (x_1, x_3, t, u) mid_{x_1=0, x_3=+0, u=+0} = frac{partial^{2}}{partial t^{2}} h_1 (t), eqno{(10)} $$ $$ frac{partial^{2}}{partial t^{2}}u_3 (x_1, x_3, t, u) mid_{x_1=0, x_3=+0, u=+0} = frac{partial^{2}}{partial t^{2}}h_2 (t), eqno{(11)} $$ $$frac{partial^{2}}{partial t^{2}} frac{partial}{partial u} > u_1(x_1, x_3, t, u) mid_{x_1=0, x_3=+0, u=+0} = frac{partial^{2}}{partial t^{2}} h_3 (t), eqno{(12)} $$ $$ frac{partial^{2}}{partial t^{2}}frac{partial}{partial u} > u_2 (x_1, x_3, t, u) mid_{x_1=0, x_3=+0, u=+0} = frac{partial^{2}}{partial t^{2}}h_4 (t), eqno{(13)} $$ где $ u$ - параметр задачи.

Численное решение задачи о построения модулей упругости и пьезоэлектрического модуля для кристаллов кубической структуры системы уравнений электроупругости по уже заданной второй производной от информации составляет основное содержание работы. end{document}

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)