Институт вычислительной математики
и математической геофизики

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

documentstyle[12pt]{article} %documentclass[12pt]{article} %usepackage[cp866]{inputenc} %usepackage[russian]{babel} itle{Эффективный метод построения автоволновых решений одномерных моделей процессов в каталитических реакторах} author{Саженкова Е. В., Чумакова Н. А.} egin{document} maketitle Феномен распространения тепловых волн в гетерогенных средах представляет большой интерес не только в теории нестационарных процессов в реакторах с неподвижным слоем катализатора, но и при исследовании ряда других химических процессов, таких как газофазные экзотермические реакции в инертных пористых средах, фильтрационное горение пористых систем, горение конденсированных сред. Основной целью представленной работы является разработка алгоритмов и численное исследование двух моделей тепловой волны в неподвижном слое катализатора: квазигомогенной модели в случае двух последовательных реакций и двухфазной модели в случае гомогенно-ге-те-ро-ген-ной реакции. Задача о поиске решения в виде тепловой волны для одномерных моделей процессов в каталитических реакторах сводится к краевой задаче для автономной системы ОДУ на числовой прямой с неизвестным параметром $omega$ (скорость распространения волны или максимальная температура), который подлежит определению: $$ frac{dmathbf{v}}{dr}=mathbf{f}(mathbf{v},omega), $$ $$ r ightarrow - infty:~~mathbf{v} ightarrowmathbf{v}^- = (v_1^-,...,v_N^-), $$ $$ r ightarrow + infty:~~mathbf{v} ightarrowmathbf{v}^+ = (v_1^+,...,v_N^+) $$ где $mathbf{v}^-$, $mathbf{v}^+$ --- неподвижные точки системы ОДУ. В случае моделей каталитических процессов компоненты вектора $mathbf{v}$ --- это концентрации веществ, участвующих в реакции, и температуры фаз. В силу автономности системы задачу можно дополнить условием $mathbf{v}(0)=u_0|v_1^+ - v_1^-|$, где $u_0in(0,1)$. Такое условие позволяет выделить из семейства решений, получаемых сдвигами вдоль оси $Or$, единственное решение. Для численного построения решения поставленной задачи предлагается использовать алгоритм, основанный на методе Ньютона решения нелинейных систем и методе ортогональной прогонки С.К. Годунова [1]. igskip {f{Алгоритм}} egin{enumerate} item Выделение конечного отрезка $[r^-,r^+]$. item Построение начального приближения вектор-функции $mathbf{v}^0$ на конечном отрезке $[r^-,r^+]$ и параметра $omega^0$. item Итерационный метод Ньютона. egin{enumerate} item Постановка линейной аппроксимирующей задачи на конечном отрезке. egin{enumerate} item Линеаризация системы на известном приближении: $$ frac{dmathbf{v}}{dr}=mathbf{A}(mathbf{v}^0,omega^0)mathbf{v}+ mathbf{h}(mathbf{v}^0,omega^0)+ mathbf{g}(mathbf{v}^0,omega^0)(omega^0-omega). $$ item Замена условий стремления к неподвижным точкам при $r ightarrowpminfty$ линейными условиями принадлежности выходящему и входящему многообразиям соответствующих неподвижных точек: $$ mathbf{S}^{pm}(omega^0)mathbf{v}(r^{pm})=0. $$ end{enumerate} item Решение линейной аппроксимирующей задачи методом встречной ортогональной прогонки, уточнение приближений вектор-функции $mathbf{v}$ и параметра $omega$. item Если условие окончания итераций выполнено, то пункт (4), иначе пункт (а). end{enumerate} item Обработка результатов вычислений. end{enumerate} Основной особенностью предложенного алгоритма является то, что исходная задача на бесконечном интервале аппроксимируется задачей на конечном отрезке $[r^-,r^+]$. Если длина отрезков $[r^-,0]$, $[0,r^+]$ недостаточно велика, то решение не успевает прийти в окрестности соответствующих неподвижных точек и поэтому возможны ситуации, когда итерации не будут сходиться или недостаточно точно будет определен параметр $omega$. В представленной работе предлагается эффективная процедура постепенного расширения отрезка интегрирования, которая позволяет получать решение на достаточно большом отрезке и значительно сокращает количество необходимых итераций. Кроме того, поскольку в линейной аппроксимирующей задаче матрица $mathbf{A}$ есть функция независимой переменной $r$, то другим важным вопросом, возникающим при численной реализации алгоритма, является построение на отрезке $[r^-,r^+]$ оптимальной сетки точек ортогонализации (пункт (3b) алгоритма). Для этого предложена эффективная процедура коррекции сетки на каждом итерационном шаге. На основе изложенного алгоритма был разработан пакет программ, написанный на языке FORTRAN, позволяющий решать задачу о нахождении автоволнового решения для систем ОДУ и выполнен параметрический анализ тепловых волн для двух моделей процессов в каталитических реакторах. Работа выполнена при финансовой поддержке Комиссии Европейских Сообществ (грант ICA2-CT-2000-10035). igskip oindent [1] {f Кузнецов С.В.} (1985). Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений // В кн: {it Вычислительные методы линейной алгебры. Труды ИМ СО РАН}. {f Том 6}. Новосибирск: Наука. С. 85--109. end{document}

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)