Институт вычислительной математики
и математической геофизики

Тезисы докладов

Вычислительная алгебра

documentstyle[12pt]{article}

title{ О многопараметрическом методе отыскания чебышевских решений систем линейных алгебраических уравнений}

author{S.Bersenev}

begin{document} maketitle

О многопараметрическом методе отыскания чебышевских решений систем линейных алгебраических уравнений}

В докладе рассматриваются системы линейных алгебраических уравнений общего вида

$$ Au = f, $$

где $A in R^{m imes n}$, $u in R^n$, $f in R^m$.

Ставится задача отыскания чебышевского решения

$$ u_{infty} : minlimits_u | Au-f|_{infty} equiv minlimits_u maxlimits_{1 leq i leq m} |a_i u - f_i|, $$

где $a_i$ и $f_i$ элементы блочных матриц $A$ и $f$ $$ A = left( begin{array}{c} underline{a_1} underline{a_2} vdots[-2mm] overline{a_m} end{array} right); qquad f = left( begin{array}{c} underline{f_1} underline{f_2} vdots[-2mm] overline{f_m} end{array} right). $$

Решение $u_{infty}$ всегда существует, однако в общем случае оно может быть неединственным даже в случае, если потребовать минимальность чебышевской нормы самого чебышевского решения.

Для отыскания регуляризованных решений рассматривается регуляризованная система

$$ A^{alpha} u = bar{f}, $$

где $$ A^{alpha} = left( frac{A}{sqrt{alpha}I} right) ; quad bar{f} = left( frac{f}{0} right) ; quad alpha > 0. $$

В работе [1] приведено описание метода, который решает задачу с помощью многопараметрического функционала : $$ |A^{alpha} u - f |^2_P = (A^{alpha}u-f)^T P (A^{alpha}u-f) $$ с положительными диагональными матрицами $P$:

$$ P = diag (p_1, p_2, ldots, p_m), quad sum^m_{i=1} P_i = 1, quad p_i>0. $$

Метод является своего рода итерационным уточнением к методу наименьших квадратов, которое порождается последовательностью матриц

$$ P_{s+1} = (1-beta_s) P_s + beta_s P(k), quad s=0, 1, 2, ... $$

Матрица $P (k_s)$ -- нулевая за исключением элемента $(k_s, k_s)$, который равен единице. Числа $beta_s$ принадлежат интервалу $(0,1)$.

Пусть $u^P: minlimits_u |Au-f |_P$. Известно [1], что для исходной и регуляризованной системы для того, чтобы $u^P = u_{infty}$,достаточно, чтобы существовало решение уравнения $$

|Au^P-f|^2_{infty} = |Au^P-f|^2_P $$ относительно $P$.

В докладе приводятся методы выбора параметров для решения этого уравнения. Ставятся задачи их оптимального выбора. Приводятся устойчивые к ошибкам округления вычислительные схемы и результаты численных экспериментов.

Литература

Берсенев С.М. Регуляризация чебышевских решений систем линейных алгебраических уравнений.//Математические модели и методы их исследования. Труды международной конференции 16-21 августа 2001г., Красноярск, Россия, 2001.-C.102-104. end{document}

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)