Конференции ИВТ СО РАН

Тезисы докладов

Посвящается памяти Н.Н. Яненко и Ш. Смагулова

Приближение бесконечной скорости распространения возмущений в сплошных средах - несжимаемость сред - основа для построения упрощенных математических моделей. Наиболее продвинутые проявления его влияния получены в гидродинамике на примере решений уравнений Навье-Стокса. Система Навье-Стокса и серия моделей на ее основе составляют теоретическую базу для прогнозирования широкого круга явлений в гидромеханике и смежных областях физики и химии. В силу большого практического значения моделируемых процессов для проведения детальных сравнений с расчетными данными получен обширный экспериментальный материал.

Свойство несжимаемости сплошной среды приводит к соленоидальному полю скорости. Это обстоятельство классифицирует системы как уравнения не типа Коши-Ковалевской. Модели несжимаемых сред являются нелинейными. Преодоление проблем, обусловленных нелинейностью, возможно при сохранении потоков на границах разностных сеток или контрольных объемов и высокой степени аппроксимации уравнений движения. Однако соблюдение этих условий не снимает значительных расхождений в результатах, получаемых по различным методикам, и в соответствии их экспериментам.

Источником проблем в моделях несжимаемых сред следует признать условие соленоидальности поля скоростей, являющееся следствием принятой бесконечной скорости распространения возмущений. Очевидно, что переход от конечной скорости к бесконечной должен определить характерное свойство решений краевых задач, а нелинейность внесет свои коррективы. Так при медленных течениях жидкостей влияние нелинейного члена проявляется в виде произведения двух малых сомножителей. Поэтому и математически и физически его воздействие будет незаметно на фоне факторов, определяющих развитие течения. А изменение условия соленоидальности возможно только при исключении производной по координате, что значительно существеннее, чем отсутствие конвективного члена. Именно по этой причине следует уделить больше внимания выводам исследований задач Стокса, поскольку в них осталась единственная проблема несжимаемых жидкостей. Пример вырожденности решения в случае полной двумерной задачи Стокса для цилиндра, движущегося в вязкой жидкости (парадокс Стокса), указывает на главную проблему моделей несжимаемых сред.

Применение МКЭ с аналитическим вычислением интегралов к решению краевых задач с заданным вектором скорости на границах, приводит к вырожденной системе алгебраических уравнений. Этот результат остается неизменным при использовании элементов любого порядка. Разрешение задач протекания, когда на части границы задается давление и касательная компонента скорости, оказалось возможным. Эти результаты с привлечением парадокса Стокса указывают на вырожденность краевых задач с заданным вектором скорости на границах для уравнений несжимаемой жидкости и необходимость регуляризации условия соленоидальности. Выбрана формула регуляризации с параметром, отвечающим за слабую сжимаемость вдоль траекторий. Классическая реализация МКЭ к регуляризованным уравнениям дает алгоритмы, не имеющие схемной вязкости, и наилучшие сравнения решений с экспериментальными данными на бенчмарках.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Администрации Калужской области (проекты N 03-01-96301, N 04-01-97213).

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск