Конференции ИВТ СО РАН

Тезисы докладов

Любая система большой сложности обладает способностью проходить некоторое множество состояний в некотором межпороговом пространстве состояний, как бы прощу-пывая крайние точки, границы своего существования, сканируя в поисках безопасного со-стояния, следуя основному закону социальных систем большой сложности. Однако чем сложнее система, чем она динамичнее, тем опаснее возможность приближения непосредственно к порогам, вхождения в зону предкатастрофического состояния. Опасность оценки заключается не только в возможности ошибки, в возможности того, что те или иные энтро-пийные процессы дадут системе лишний толчок, который приведет к катастрофе. Проблема заключается и в том, что приближение к пороговым состояниям приводит к опаснейшему росту дезорганизации. Чтобы найти гарантированные границы зон опасных состояний и пороговые значения параметров системы, которые соответствуют границам этих зон, предлагается класс методов гарантированного оценивания решений систем дифференциальных уравнений [1]- [12] для нахождения оценок множеств решений и множеств значений функционалов, построенных на решениях этих систем. В работе предлагается оценивать области решений при конечных, постоянно дейст-вующих возмущениях. Среди математических описаний подобных задач мы выделим задачи проверки гарантированных условий безопасности и задачи построения множеств достижи-мости. Пусть имеется система управления dy/dt = f(t,y,u,v), (1)

Требуется проверить выполнение условий y(t) in N для любого движения y(.), ис-ходящего из точек области допустимых начальных позиций при переборе всех возмуще-ний, удовлетворяющих ограничению v() in V . (2) Так ставится задача проверки гарантированных условий безопасности. Для ее проверки час-то приходится решить задачу построения множеств достижимости.

Для системы (1}) и ограничения (2) требуется построить множество областей дости-жимости G(t) как множество всех решений задачи (1) при возмущениях (2) для любого фик-сированного момента времени t. Для многих задач ограничения на возмущающие воздейст-вия могут носить только геометрический характер. Это значит, что в каждый момент време-ни t возмущение w(t) может быть любым из некоторого выпуклого компактного множества Q. Использование при построении двусторонних и интервальных оценок решений систем ОДУ дифференциальных неравенств, приводит к качественным изменения (возмущению структуры) системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Главная особенность классических понятий устойчивости состоит в том, что они от-носятся к конкретной системе и поведению ее траекторий в окрестности точки равновесия (притяжения или отталкивания). Совершенно другого подхода требует анализ поведения се-мейства траекторий, включая особые точки, сепаратрисы и предельные циклы, взаимное рас-положение которых определяет структуру семейства, этот анализ возникает при рассмотре-нии всех систем, "близких" к стандартной системе.

Согласно определению, введенного Понтрягиным и Андроновым, система (1) называ-ется структурно устойчивой (грубой), если топологический характер траекторий всех близ-ких к ней систем такой же, как у системы (1). Определенные математические трудности свя-заны с уточнением понятий " близкая система", а также с конкретизацией смысла, который подразумевается, когда говорят о том, что траектория эквивалентна, или топологически по-добна другой траектории. Но основная идея остается ясной, достаточно малые изменения структурно устойчивой системы должны приводить к соответственно малым изменениям в динамике ее поведения.

Фазовое пространство наделено некоторой структурой, которая задается направлен-ным по движению ходом фазовых траекторий. Эта структура полностью определяется осо-быми структурными элементами в области движения. К ним относятся особые точки, сепа-ратрисы и предельные циклы. Их взаимное расположение и определяет его структуру. Среди множества различных ситуаций есть такие, которые являются типичными, но есть и исклю-чительные. Пусть при малом шевелении "поля (то есть при его малом возмущении) полу-ченная динамическая система будет эквивалентна исходной. Такую систему называют структурно--устойчивой или "грубой" в смысле Андронова -Понтрягина.

Для исследования безопасности систем значение имеют не сами показатели, а их по-роговые значения. Пороговые значения - это предельные величины, несоблюдение значений которых препятствует нормальному ходу развития различных элементов, приводит к фор-мированию негативных, разрушительных тенденций в области экономической безопасности. Приближение к их предельно допустимой величине свидетельствует о нарастании угроз не-устойчивости, а превышение предельных, или пороговых, значений - о вступлении системы в зону нестабильности и социальных конфликтов, то есть о реальном подрыве экономиче-ской безопасности. Важно подчеркнуть, что наивысшая степень безопасности достигается при условии, что весь комплекс показателей находится в пределах допустимых границ своих пороговых значений, а пороговые значения одного показателя достигаются не в ущерб дру-гим.

Методы, строящие гарантированные границы множеств решений систем дифферен-циальных уравнений с интервальными данными [1]-[12], основаны на символьном представ-лении формул, аппроксимирующих оператор сдвига вдоль траектории. После нахождения символьных формул вычисляются множества включения (множественные или интервальные расширения), содержащие каждое приближенное решение при варьировании параметров значений, затем включения глобальных ошибок для всех приближенных решений, соответ-ствующих этим символьным формулам. Завершает алгоритм операция объединения этих множеств включений, реализуемая, например, как сложение множеств. Такой подход позво-ляет определять границы множеств решений, точно отслеживающие поведение множества всех точных решений, а также устранить влияние так называемого "wrapping" эффекта (структурной неустойчивости), проявляющееся практически во всех двусторонних и интер-вальных методах. В качестве примеров применении гарантированных методов приводятся границы областей устойчивости несколько систем дифференциальных уравнений, описы-вающих динамику многомашинных электроэнергетических систем, систем экономического роста и систем управления движением.

1. Рогалев А.Н., Шокин Ю.И. Исследование и оценка решений обыкновенных дифференци-альных уравнений интервально –символьными методам. Вычислительные Технологии, 1999.- т.4, № 4.- c. 51 -76.
2. Рогалев А.Н. Исследование практической устойчивости при постоянно действующих воз-мущениях. Вычислительные технологии, 2002. -т.7, ч.5. - с.148-150.
3. Рогалев А.Н. Гарантированные методы решения систем обыкновенных дифференциаль-ных уравнений на основе преобразования символьных формул // Вычислительные техноло-гии. --- 2003. т. 8. № 5. --- С.102--116. 4. Рогалев А.Н. Поведение динамических систем при экстремальных возмущениях // Вычислительные технологии. --- 2003. т. 8 - Совместный выпуск. По материалам Международ-ной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и обра-зовании" ---Казахстан, Усть-Каменогорск. - с.68--77.
5. Рогалев А.Н. Гарантированные оценки безопасного функционирования технических и электроэнергетических систем // Труды Всероссийской конференции с международным участием "Современные методы математического моделирования природных и антропоген-ных катастроф". --- Красноярск: ИВМ СО РАН. --- 2003, т.3. --– С. 42-48.
6. Рогалев А.Н. Включение множеств решений дифференциальных уравнений и гарантиро-ванные оценки глобальной ошибки // Вычислительные технологии. --- 2003. т. 8, № 6. - С.80--94.
7. Рогалев А.Н. Границы множеств решений систем обыкновенных дифференциальных урав-нений с интервальными начальными данными // Вычислительные технологии. --- 2004. т.9. № 1.- с. 86--93.
8. Рогалев А.Н. Методы определения верхних и нижних оценок решений дифференциальных уравнений и их применение // Труды Международной конференции по Вычислительной Математике МКВМ-2004./ Под редакцией Михайлова Г.А., Ильина В.П., Лаевского Ю.Е. - Новосибирск: ИВМ и МГ СО РАН. --- 2004, ч.2. --– С. 614--620.
9, Рогалев А.Н.Ансамбли систем дифференциальных уравнений с интервальными данными //Интервальная математика и методы распространения ограничений. Труды Международной конференции по Вычислительной Математике МКВМ-2004. Рабочие совещания - Новоси-бирск: ИВМ и МГ СО РАН. - 2004. --– С. 240--254.

Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск