Конференции ИВТ СО РАН

Тезисы докладов

Исследование устойчивости--это серьезно развитый раздел математики, в котором получены многие интересные результаты [11], [12], [10]. Большой практический интерес представляет исследование устойчивости решений систем ОДУ не только по отношению к изменению начальных условий, но и по отношению ко всем видам возмущений, которые могут тем или иным способом влиять на поведение решений [7], [12] в том числе на конечном интервале времени. В классической постановке задачи об устойчивости движения предполагается, что возмущающие силы вносятся только в начальный момент времени, далее возмущенные движения осуществляются при действии тех же сил, которые были учтены при описании невозмущенного движения. Однако понятия устойчивости, и даже асимптотической устойчивости, которые используются в таких постановках задачи об устойчивости, сами по себе не обеспечивают практической, названной также технической, а также возможный близкий термин—устойчивости при постоянно действующих возмущениях, [5], [13] [7], [9], которая понимается как ограниченность решений на конечном интервале времени. Длина этого интервала выбирается в зависимости от смысла поставленной задачи. Большинство систем, особенно технических, функционируют в течение конечного промежутка времени, и при этом представляет интерес не только факт их устойчивости или неустойчивости, но и количественные оценки их поведения, а также приемлемость этих оценок в реальных условиях. Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову были получены как качественные характеристики поведения систем на бесконечном интервале времени и не всегда характеризуют поведение системы на конечном интервале относительно наперед заданных областей в пространстве состояний. Первые постановки задач об устойчивости на конечном промежутке времени принадлежат Четаеву Н.Г. [14], [6], [13], [7]. Они исследованы в их работах и получили дальнейшее развитие как теория практической или технической устойчивости в монографиях Ла Салля Ж.П. – Лефшеца С., Мартынюка А.А., Матросова В.М. и других авторов.

Исследование практической и технической устойчивости означает анализ условий, в которых система должна работать, требования которые к ней предъявляются. Только после этого можно установить, будет ли рассматриваемая система достаточно устойчива для того, чтобы выполнить свои функции, и можно ли улучшить ее устойчивость. Устойчивость по Ляпунову и даже асимптотическая устойчивость не достаточны для практической устойчивости . Более того, положение равновесия может быть математически неустойчиво и тем не менее система может совершать колебания в достаточной близости от положения равновесия, так что ее режим является вполне приемлемым. Многие авиационные и технические установки ведут себя именно таким образом.

В докладе представлены результаты применения гарантированных оценок множеств решений [1]-[5] для исследования практической устойчивости. Получаемые в результате числовые значения гарантированных границ множеств решений учитывают влияние на решения постоянно действующих возмущений, представляющих многозначные функции. Такие границы обеспечивают возможность формулировать математически строгие результаты, касающиеся практической устойчивости, для достаточно широких классов задач. Для получения символьных формул решений, основанных на аппроксимации оператора сдвига вдоль траектории, предложены формулы предиктор-корректор. Обосновано включение в гарантированные границы всего множества точных решений. Приводятся виды различных функций возмущения и условий устойчивости. Построенные численно включения движений при конечных постоянно действующих возмущениях позволяют доказывать строго устойчивость различных систем. Приводятся результаты расчетов и графики.

Литература.

1. Рогалев А.Н. Исследование практической устойчивости при постоянно действующих возмущениях// Вычислительные технологии, 2002. -т.7, ч.5. - с.148-150.
2. Рогалев А.Н. Задачи практической (интервальной) устойчивости с заданной областью предельных отклонений // Труды пятой международной конференции памяти академика А.П. Ершова. Международное совещание по интервальной математике и методам распространения ограничений. - Новосибирск, 2003. - с. 90 - 100.
3. Рогалев А.Н. Гарантированные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе преобразования символьных формул // Вычислительные технологии, 2003 –т. 8, № 5.- с.102 -116.
4. Рогалев А.Н. Вопросы устойчивости ансамблей дифференциальных уравнений// Вопросы математического анализа. - Красноярск: КГТУ. - 2004. - вып. 8.— С.175--187.
5. Рогалев А.Н. Структурные возмущения двусторонних и интервальных методов // Труды IV Всероссийской конференции "Финансово-актуарная математика и смежные вопросы", часть 1 / Под редакцией Воробьева О.Ю. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005 г. - с. 349-361.
6. Гермаидзе В., Красовский Н.Н. Об устойчивом движении при постоянно действующих возмущениях // Прикладная математика и механика --- 1957. № 21, вып.6 --- с. 769--774.
7. Каменков Г.В. Об устойчивости движения на конечном интервале времени // Прикладная математика и механика. --- 1953. 17. № 5. --- C.529--540.
8. Лакшмикантам В., Лила С., Мартынюк А.А. Устойчивость движения: метод сравнения—Киев: Наукова Думка, 1991. --- 246 с.
9. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова.—Москва: Мир, 1964. --- 168 с.
10. Мартынюк А.А., Лакшмикантам В., Лила С. Устойчивость движения: метод интегральных неравенств. --- Киев: Наукова Думка, 1989.—271~с.
11. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.И. Метод сравнения в математической теории систем. --- Новосибирск: Наука, 1980.—480 с.
12. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. --- Москва: Физматлит, 2001— 384 с.
13. Моисеев Н.Д. О некоторых методах теории технической устойчивости // Труды Военно-воздушной Академии им. Жуковского.— 1945. вып. 135.-с.3--17.
14. Четаев Н.Г. Устойчивости движения.— Москва: Наука, 1965.—234 с.

    Примечание. Тезисы докладов публикуются в авторской редакции

    ---

    ---

    Ваши комментарии Обратная связь

    [Головная страница] [Конференции]

    © 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
    © 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    

    ---