Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

Рассматриваются задачи дифракции стационарных акустических колебаний в неограниченном пространстве на трёхмерных однородных включениях. Поскольку аналитические решения таких задач могут быть построены только в исключительных случаях, основным методом их исследования является компьютерное моделирование.

Дискретизация задач дифракции, необходимая для последующего нахождения их приближенных решений, может осуществляться различными способами. При выборе способа дискретизации нужно учитывать следующие особенности исследуемых задач: их решения разыскиваются в неограниченных областях, зависят от трёх пространственных переменных, медленно убывают на бесконечности и могут сильно осциллировать. Перечисленные особенности приводят к тому, что алгоритмы численного решения задач дифракции, основанные на дифференциальных формулировках, приводящих к конечно-разностным или проекционно-сеточным схемам, являются малоэффективными.

Более эффективные алгоритмы численного решения могут быть построены на основе эквивалентных исходным задачам граничных интегральных уравнений, заданных на замкнутых двумерных многообразиях, являющихся границей раздела двух сред. Поскольку задачи дифракции допускают различные интегральные постановки, возникает необходимость выбора и исследования таких формулировок, которые наиболее удобны для численного решения.

В данной работе, в отличие от общепринятого подхода, когда задачи дифракции формулируются в виде систем двух интегральных уравнений с двумя неизвестными функциями, получены и используются слабо сингулярные интегральные уравнения I рода с одной неизвестной функцией, каждое из которых равносильно исходной задаче. Такой подход приводит к граничным интегральным уравнениям с более сложной для теоретического анализа структурой, что компенсируется возможностью построения на их основе эффективных численных алгоритмов.

Для численного решения интегральных уравнений I рода разработан не требующий триангуляции поверхности согласованный с шагом сетки алгоритм осреднения интегральных операторов со слабыми особенностями в ядрах, позволяющий строить дискретные аналоги исходных задач по достаточно простым формулам.

Аппроксимирующие интегральные уравнения системы линейных алгебраических уравнений имеют плотно заполненные матрицы коэффициентов размерностью порядка нескольких десятков тысяч. Прямые методы решения таких систем крайне неэффективны, поэтому проведено численное исследование возможностей их приближённого решения при помощи различных итерационных методов вариационного типа. Установлено, что наилучшим для данного класса задач является обобщённый метод минимальной невязки (GMRES), поскольку число итераций, необходимых для вычисления приближённых решений данным методом с приемлемой точностью, невелико по сравнению с размерностью систем и зависит от нее весьма слабо.

Приведены результаты численных экспериментов, позволяющих оценить возможности предлагаемого подхода к моделированию процессов дифракции стационарных акустических волн.

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)