Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

Уравнения газовой динамики и Навье-Стокса вязкого сжимаемого теплопроводного газа являются базовой моделью для широкого класса задач аэро- и гидродинамики. Их решения содержат, как правило, узкие зоны больших градиентов и другие особенности, такие как пограничные слои, висячие скачки, отрывные зоны и т. д. Поэтому их численное решение представляет значительные трудности, что вызывает необходимость разработки и использования специальных численных алгоритмов. Эти алгоритмы должны обладать достаточной точностью, большим запасом устойчивости, удовлетворять свойствам консервативности и экономичности с возможностью получения решения задачи за разумное время на существующих ЭВМ. Использование явных разностных схем для численного решения уравнений Навье-Стокса и, в ряде случаев, уравнений Эйлера может оказаться неэффективным в силу жестких ограничений на соотношение временного и пространственных шагов расчетной сетки, особенно при нахождении стационарного решения методом установления. Поэтому часто используются неявные разностные схемы, свободные от ограничений на устойчивость или имеющие более слабые ограничения.

При построении и реализации неявных разностных схем наиболее часто используются методы факторизации и расщепления (см., [1,2]), которые позволяют свести решение исходных многомерных задач к последовательному (или параллельному) решению их одномерных аналогов. Однако даже решение одномерных аналогов приводит к необходимости обращения матриц, размерность которых возрастает с ростом числа уравнений или с увеличением размерности задач по пространству. Поэтому остается актуальным построение численных алгоритмов, реализация которых является экономичной и сводится, например, к скалярным прогонкам или к “схеме бегущего счета” для каждого пространственного направления, как, например, в схемах расщепления [1]. Известно, что введение расщепления или факторизация операторов в исходной многомерной задаче приводит к появлению дополнительных членов в разностной схеме – диссипативных членов и членов более высокого порядка и, как следствие, к ухудшению свойств численного алгоритма. Это и является платой за экономичность метода. Поэтому расщепление операторов следует выбирать таким образом, чтобы минимизировать влияние этих членов.

В настоящей работе предлагаются и исследуются разностные схемы, основанные на расщеплении исходной многомерной задачи на их одномерные аналоги с последующим расщеплением одномерных задач таким образом, чтобы реализация схем на дробных шагах сводилась к скалярным прогонкам, т.е. они были экономичны по числу операций на узел сетки, построенные схемы были безусловно устойчивыми или имели слабые ограничения на устойчивость, а влияние расщепления было бы минимальным, т. е. их свойства были близки к свойствам нефакторизованных схем. В докладе предлагаются и исследуются экономичные разностные схемы для численного решения уравнений газовой динамики и уравнений Навье-Стокса сжимаемого теплопроводного газа в декартовых и криволинейных координатах. Приведены результаты расчетов течений в канале, в том числе с учетом вдува газа с части его поверхности, содержащих области взаимодействия ударных волн, зоны отрыва и присоединения , подтверждающие теоретические оценки эффективности предложенных алгоритмов и их достаточную точность.

1. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики.-Новосибирск: Наука, 1981.

2. Марчук Г.И. Методы расщепления и переменных направлений.-М.: АН СССР, ОВМ, 1986.

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)