Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Вычислительная алгебра

Реализация метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) сводится к поиску решения переопределенной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Во многих работах, посвященных методу КНК, например в [1], решение СЛАУ x находится при помощи итерационного процесса x^n, n=0, 1, ... При проведении вычислений на мелких сетках и в других случаях возникает необходимость в ускорении сходимости итераций. Существуют различные алгоритмы ускорения, в которых используются подпространства Крылова [2]. В одном из них [3] через каждые k шагов к текущему приближению x^n добавляется поправка, являющаяся линейной комбинацией k векторов невязок уравнений рассматриваемой СЛАУ r^j=x^j-x^{j-1}, j=(n-k), ... , (n-1), k < n. Для нахождения этой поправки в [3] выписывается вспомогательная перепределенная СЛАУ L u=f, где u - вектор коэффициентов искомой линейной комбинации. Для решения системы L u=f в [3] используется метод наименьших квадратов (МНК), реализация которого сводится к решению СЛАУ с матрицей L^T L. Обусловленность последней много хуже обусловленности матрицы L, которая зачастую сама плохо обусловлена. В данной работе для решения системы L u=f предлагается вместо МНК использовать ортогональный метод, который сводит решение системы L u= f к решению определенной СЛАУ M u=h с верхнетреугольной матрицей M. Процесс исключения элементов под диагональю матрицы L в предлагаемом ортогональном методе проводится с выбором главного элемента. Кроме того, алгоритм учитывает возможность наличия в матрице L строк, линейно зависимых или близких к линейно зависимым. В итоге из матрицы L выделяется максимальная невырожденная подматрица. Решение СЛАУ M u=h близко к тому, что получается в МНК для L u=f. При этом обусловленность матрицы M много лучше обусловленности матрицы L^T L.

Предложенный здесь способ ускорения сходимости был использован в методе КНК для уравнений Навье-Стокса. Удалось существенно уменьшить время, необходимое для проведения расчетов. В некоторых случаях итерационный процесс из расходящегося становился сходящимся, благодаря применению предложенного здесь алгоритма. Это позволило использовать более мелкие сетки и расширить диапазон чисел Re, при которых можно успешно применять метод КНК. В результате при расчете течения в каверне с движущейся верхней крышкой на сетке 640*640 наряду с известными угловыми вихрями в данной работе были обнаружены еще вихри 2-го порядка малости в углах каверны. Среди публикаций других авторов наиболее близкие результаты к полученным здесь приведены в статье [4], в которой используется схема высокого порядка с очень малой искусственной вязкостью. Это свидетельствует о том, что метод КНК позволяет получать приближенное решение с высокой точностью.

Работа поддержана грантом РФФИ №06-01-00080-а.

Список литературы

[1] Исаев В.И., Шапеев В.П., Еремин С.А. Исследование свойств метода коллокации и наименьших квадратов решения краевых задач для уравнения Пуассона и уравнений Навье---Стокса. ЖВТ (в печати).

[2] Saad Y. Krylov Subspace Methods for Solving Unsymmetric Linear Systems Mathematics of computation --- 1981. --- Vol. 37, №155 --- P.105--126.

[3] Слепцов А.Г. Об ускорении сходимости линейных итераций Моделирование в механике. --- Новосибирск, 1989. --- Т.3(20), №3. --- С.132--147.

[4] Гаранжа В.А., Коньшин В.Н. Численные алгоритмы для течений вязкой жидкости, основанные на консервативных компактных схемах высокого порядка аппроксимации ЖВМиМФ. --- 1999. --- Т.39, №8. --- С.1378--1392.

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)