Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Аппроксимация функций и квадратурные формулы

В статье [1] представлены результаты использования метода наименьших квадратов (МНК) с кубическими В – сплайнами в качестве базиса для решения дифференциальных уравнений в частных производных двух переменных. В развитие данного подхода, для решения нестационарных задач, описываемых линейными дифференциальными уравнениями в частных производных двух пространственных переменных и времени, реализован комбинированный метод, включающий МНК и конечные разности. Так, в исходном уравнении производные по времени заменяются конечными разностями. В результате получается последовательность уравнений, зависящих только от пространственных переменных, решение которых, при заданных граничных условиях, отыскивается МНК. Решение двумерной задачи методом наименьших квадратов, с кубическими В-сплайнами в качестве базиса, приводит к СЛАУ с симметричной, положительно определенной матрицей ленточного типа. Система решается методом LDL' - факторизации. В случае, когда коэффициенты исходного дифференциального уравнения и граница области решения задачи не зависят от времени и шаг по времени в разностной схеме постоянен, скорость метода существенно увеличивается, так как достаточно один раз выполнить LDL' - факторизацию и решить задачу для каждого слоя, меняя лишь правую часть СЛАУ.

Проведено тестирование метода на примере решения волнового уравнения и уравнения теплопроводности сравнением численных результатов, полученных с использованием разностной схемы Кранка – Николсона, с известными точными решениями.

Рассматриваемый метод может быть использован не только для решения нестационарных задач, но и, например, для построения модели трехмерной геологической среды по сейсмическим и геофизическим данным.

Реализация данного метода выполнена в разработанном нами программном комплексе GST, предназначенном для решения задач картопостроения и геологического моделирования.

Литература

1. Сидоров А.Н., Плавник А.Г. Решение дифференциальных уравнений в частных производных методами сплайн-аппроксимации. Труды Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 / Под ред. Г.А. Михайлова, В.П. Ильина, Ю.М. Лаевского. – Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004, ч. 2, с. 648-652.

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)