Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Вычислительная алгебра

Современные методы решения краевых задач, связанных с исследованием явлений гидродинамики и тепломассопереноса, сводятся, как правило, к разностной аппроксимации многомерных дифференциальных уравнений, что в свою очередь, приводит к построению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Матрица подобных систем в большинстве случаев характеризуется следующими свойствами: она имеет большую размерность; разреженно-упорядоченную ленточную структуру; диагональное преобладание. Поскольку на сегодняшний день не существует прямых экономичных методов решения таких СЛАУ с числом операций пропорциональным числу уравнений, то продолжает оставаться актуальной задача построения эффективных итерационных методов, позволяющих получать решение с заданной точностью за минимальное число итераций. В данной работе на основе алгоритма эквивалентных преобразований уравнений системы в комбинации с квадратичной экстраполяцией поправки решения во внутренних расчетных узлах удается получить преобразованную СЛАУ, очередное итерационное решение которой определяется с помощью экономичных трехточечных скалярных прогонок. Показано, что в случае достижения сходимости решение преобразованной СЛАУ и исходной совпадают.

Исследование эффективности предлагаемого метода основано на сравнении характеристик построения решения одной и той же задачи Дирихле в единичном квадрате разными методами, в качестве которых выбраны следующие: метод верхней релаксации [1], полинейный метод [2], модифицированный полинейный метод [3]. Основным варьируемым параметром выбрано число уравнений в системе (величина сеточного шага). Рассмотрены случаи с 400, 1600, 10000, 160000 уравнений.

Показана высокая эффективность предлагаемого метода. В частности, в рассматриваемой тестовой задаче за первую итерацию достигается понижение нормы невязки на 2 – 4 порядка. При определении заданной точности как понижение нормы невязки на 4 – 6 порядков решение данным методом строится за 1 – 3 итерации. Причем, что интересно, с увеличением числа уравнений (уменьшением сеточного шага), количество итераций, необходимых для достижения заданной точности, уменьшается.

Показана сильная зависимость эффективности метода от величины итерационного параметра. Получена оценочная формула для вычисления его значения с относительной погрешностью 1-2%.

Список литературы

1. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.– М.: Наука, 1978.

2. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости.– М.: Энергоатомиздат, 1984.

3. Зверев В.Г. Модифицированный полинейный метод решения разностных эллиптических уравнений // ЖВМ и МФ.– 1998.– т. 38.– № 9.– C. 1553-1562.

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)