Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

Многообразие прикладных задач, в которых присутствует конвективный перенос, приводит к постоянному повышению требований к точности и эффективности численных методов. Разрывный метод Галеркина (DG – метод) позволяет получать аппроксимации разрывных решений, используя идею численных потоков и ограничителей крутизны, применяющихся в конечно разностных и конечно объемных схемах, в связи с чем, его можно рассматривать как некоторое обобщение конечно объемных методов. В данном случае численные потоки – это специальные операторы следа на границе конечного элемента, а ограничители крутизны - операторы, обеспечивающие повышение устойчивости метода. Именно эти дополнения призваны обеспечивать сходимость численного решения к физически релевантному решению без осцилляций вблизи разрывов. Благодаря своей конечно элементной структуре DG – метод имеет ряд преимуществ: 1) разрывный метод Галеркина хорошо приспособлен для локальных сгущений сетки и для локального повышения порядков базисных функций; 2) DG – метод удобен для работы со сложными и геометрически разнородными областями.

В настоящее время можно определить два основных подхода к построению DG – вычислительных схем для решения задач конвекции-диффузии. Первый подход основан на определении численного решения в пространстве кусочно-полиномиальных функций не выше заданной степени, при этом слабая вариационная постановка выписывается для исходного дифференциального уравнения второго порядка в соответствии с введенным в данном пространстве скалярным произведением. Роль численных потоков играют градиентные функции от решения [1]. Второй подход предусматривает переход от дифференциального уравнения второго порядка к системе дифференциальных уравнений первого порядка [2] и применение стандартного DG – метода для решения уравнений первого порядка.

Разрывный метод Галеркина успешно применяется для интегрирования дифференциальных уравнений по времени.

В докладе рассматриваются вариационные формулировки для первого и второго случаев, проводится сравнительный анализ полученных вычислительных схем на решении модельных задач, обосновывается необходимость применения специальных схем интегрирования по времени.

1. B. Cocburn, G.E. Karniadakis and C.-W. Shu. Discontinuous Galerkin methods.//Lecture notes in computational science and engineering. Springer Verlag. 2000.

2. F. Bassi, S. Rebay. High-order accurate discontinuous finite element method for the numerical solution of the compressible Navier-Stokes equations// Journal of Computational Physics. 1997. V. 131. Pp. 267-279.

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)