Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

При решении регулярных краевых задач широко используются методы декомпозиции области на основе метода Шварца, позволяющие свести задачу к подзадачам на более простых областях. В случае сингулярно возмущенных задач решение осложняется пограничными и внутренними слоями, возникающими при малых значениях возмущающего параметра. Для таких задач интерес представляют робастные численные методы, сходящиеся равномерно по параметру - с погрешностью, не зависящей от параметра. При декомпозиции базовой схемы исходная область разбивается на перекрывающиеся подобласти так, чтобы каждая подобласть содержала не более одной особенности типа слоя.

В докладе рассматривается задача Дирихле на прямоугольнике для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения реакции-диффузии. Для аппроксимации краевой задачи применяется известная разностная схема, сходящаяся равномерно по параметру - классические разностные аппроксимации дифференциального уравнения на кусочно-равномерных сетках, сгущающихся в погранслоях. Для решения этой базовой схемы строятся и исследуются два варианта схем метода Шварца на перекрывающихся подобластях; на границах подобластей задаются интерфейсные условия Дирихле. Ранее рассматривался вариант когерентных (согласованных) на подобластях сеток. Они порождаются единой сеткой, введенной на всей исходной области. Предлагается вариант, когда сетки на подобластях декомпозиции некогерентны, т.е. распределения сеточных узлов независимы и узлы сеток из различных подобластей не совпадают на пересечении.

Заметим, что для задач конвекции-диффузии в случае некогерентных сеток, являющихся равномерными на подобластях, не существует схем метода декомпозиции области, сходящихся равномерно по параметру. В случае существенно перекрывающихся подобластей и некогерентных сеток на них использование неравномерных сеток является необходимым.

Для задач реакции-диффузии указываются условия, необходимые и достаточные для равномерной по параметру сходимости сеточных решений метода Шварца и их линейных интерполяций. Показано, что с использованием некогерентных сеток, являющихся равномерными на подобластях, можно построить схемы метода декомпозиции, сходящиеся равномерно по параметру.

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)