Институт вычислительной математики и математической геофизики СОРАН

Тезисы докладов

Численное решение дифференциальных и интегральных уравнений

Представлена новая методика построения дискретных аппроксимаций для моделей математической физики. Предлагаемый подход основан на вариационных принципах в сочетании с методами декомпозиции и расщепления для организации методов прямого и обратного моделирования с использованием глобальных и локальных сопряженных задач. Модели записываются в вариационной формулировке в виде функционалов типа интегральных тождеств. Структура функционалов определяется исходя из соотношений баланса полной энергии системы с учетом других законов сохранения. Изложение ведется на примере моделей геофизической гидродинамики и моделей переноса и трансформации примесей в атмосфере и водных объектах.

Новым оригинальным элементом методики является гибридный дискретно-аналитический способ аппроксимации функционалов интегрального тождества для описания моделей, включающий два системных уровня. Первый основан на вариационной формулировке метода конечных объемов для аппроксимации функционалов в целом. Он определяет глобальную структуру дискретных аналогов прямых и сопряженных задач и соотношений теории чувствительности для моделей и функционалов. Второй уровень формирует внутреннюю структуру численных схем, которая строится с помощью аналитических решений, получаемых из локальных соотношений баланса с использованием основных и сопряженных операторов модели в пределах каждого четырехмерного пространственно-временного конечного объема. В результате получаются дискретные схемы, операторы которых обладают такими необходимыми свойствами, как монотонность, транспортивность, согласованность, выполнение балансных соотношений, дифференцируемость относительно компонент функции состояния и параметров и т.д. В алгоритмах построения и реализации численных схем заложена возможность их адаптивной организации в соответствии с критериями точности, следящими за интенсивностью моделируемых процессов.

Теоретические исследования свойств нового класса аппроксимаций показывают, что схемы и алгоритмы, построенные с помощью гибридной структуры вариационных методов, имеют высокую вычислительную эффективность. Они согласованы в прямом и сопряженном вариантах. Точность глобального и детального описания процессов с использованием аналитических решений локальных сопряженных задач получается выше, чем точность традиционных аппроксимаций, как правило, требующих введения искусственных монотонизаторов.

В качестве примеров приводятся результаты решения задач по оценке экологических рисков и уязвимости атмосферы индустриальных регионов и динамике вод озера Байкал в негидростатическом приближении.

Работа поддержана Программами фундаментальных исследований №16 Президиума РАН и №3 Отделения математических наук РАН, проектом РФФИ 07-05-00673 и контрактом Европейской Комиссии № 013427.

Ваши комментарии Обратная связь

[Головная страница] [Конференции]

© 1996-2000, Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
© 1996-2000, Сибирское отделение Российской академии наук, Новосибирск
    Дата последней модификации: 06-Jul-2012 (11:52:06)